高考數(shù)學(xué)立體幾何題的分析與解題策略

黃 銘

（福建省連城縣第三中學(xué)，福建龍巖 366214）

引 言

立體幾何不僅是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，同時(shí)也是高考的重點(diǎn)和難點(diǎn)題目，要提高立體幾何的高考成績，就要注重分析高考立體幾何試題的特點(diǎn)和學(xué)生解題中存在的問題，采取有針對(duì)性的措施加以訓(xùn)練。

一、高考立體幾何試題分析

在近幾年的高考中，立體幾何試題的分?jǐn)?shù)基本保持在22分左右。考核的重點(diǎn)內(nèi)容包括：立體幾何的結(jié)構(gòu)、表面積與體積；幾何體三視圖；點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系等。試題一般會(huì)運(yùn)用“兩個(gè)小題和一個(gè)大題”的組合形式來進(jìn)行考核。小題主要是對(duì)空間幾何體的體積、表面積、三視圖進(jìn)行考核；大題主要是針對(duì)點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系，以及異面直線夾角的大小、直線與平面所成角度的大小等知識(shí)點(diǎn)來考核。

通過調(diào)查顯示，超過七成學(xué)生認(rèn)為立體幾何試題較難或很難，超過三成的學(xué)生在立體幾何解題時(shí)常會(huì)出現(xiàn)讀不明白題意和想不出解題思路，超過五成的學(xué)生有時(shí)不能根據(jù)題意正確畫出圖形來。由此可見，在立體幾何解題中，學(xué)生動(dòng)手畫圖能力不強(qiáng)，對(duì)解題的思路方法不掌握或者不能靈活運(yùn)用，導(dǎo)致解題效率不是很滿意。因此，要提高學(xué)生的立體幾何解題能力，就必須注重培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、推理能力，注重解題方法策略的訓(xùn)練[1]。

二、高中立體幾何解題策略

1.加強(qiáng)畫圖能力訓(xùn)練，培養(yǎng)空間想象能力

畫圖、識(shí)圖能力是立體幾何解題的基礎(chǔ)，特別是許多學(xué)生對(duì)空間幾何體三視圖的畫圖能力不強(qiáng)，而把三視圖還原成立體圖形的能力更差，導(dǎo)致學(xué)生在立體幾何解題中對(duì)題目的理解能力差，這和學(xué)生的空間想象能力不強(qiáng)有重要關(guān)系。因此，在立體幾何教學(xué)中，應(yīng)加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的立體幾何畫圖、識(shí)圖能力的訓(xùn)練。教師可運(yùn)用多媒體等現(xiàn)代信息技術(shù)手段，把立體幾何圖形展示給學(xué)生，使學(xué)生能夠形象直觀地把立體圖形與三視圖聯(lián)系起來，增強(qiáng)對(duì)立體圖形的感性認(rèn)識(shí)，提高學(xué)生的畫圖能力，特別是讓學(xué)生掌握三視圖還原立體圖形的方法技巧，以此培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和解題的理解能力。

例1 （2013全國卷l）以下圖形是某立體圖形的三視圖，求這個(gè)立體圖形的體積是（ ）。

A.16+8л B.8+8л C.16+16л D.8+16л

分析：要解答此題，需要把三視圖還原成立體幾何圖形才能求體積。對(duì)于這種組合體的圖形，在把三視圖還原成立體圖形時(shí)，可把各圖形分開，分別把相對(duì)應(yīng)的三視圖組合成各自的立體圖形，然后再把立體圖形組合，如圖1所示。能把三視圖還原立體圖形，本題就容易求出體積是16+8л。

圖1

2.加強(qiáng)解題過程分析，提高數(shù)學(xué)思維能力

要提高學(xué)生的解題能力，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)思維能力是關(guān)鍵。因此，在立體幾何教學(xué)中要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的立體幾何解題思維能力訓(xùn)練，加強(qiáng)解題思路分析訓(xùn)練，使學(xué)生通過一道題的深入分析，掌握一類題的解法。

例2 （2017全國卷l）在圖2所示的四棱錐P-ABCD中，已知AB∥CD，∠BAP=∠CDP=90°。

（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）如果PA=PD=AB=CD，∠APD=90°，求出二面角A-PB-C的余弦值是多少。

圖2

解析：（1）通過分析可知，要想證明兩個(gè)平面垂直，只要能證明一個(gè)平面內(nèi)的一條直線與另一個(gè)平面垂直，就能證明這兩個(gè)平面垂直。只要運(yùn)用好已知條件就不難證明此題。

（2）解答此問可以采取幾種方式來求解。一是先求出該二面角的度數(shù)，再求其余弦值，但從所給的條件看，此方法求解比較困難；二是用向量的方法求解比較容易。為此需要建立空間直角坐標(biāo)系，∵平面PAB⊥平面PAD，選AD中點(diǎn)為原點(diǎn)O，∵PA=PD，∴OP⊥平面ABCD，因此可建立如圖坐標(biāo)系。可假設(shè)PA=PD=AB=CD=2，就可以確定幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)如下：O(0，0，0)、。然后假設(shè)平面APB的法向量為 m =(x，y，z)，根據(jù)，可求出，用同樣的方式可假設(shè)平面APB的一個(gè)法向量是，可求出，可根據(jù)二面角求出其值為。

3.加強(qiáng)基礎(chǔ)歸納總結(jié)，構(gòu)建完善知識(shí)體系

在高中立體幾何知識(shí)中，概念、定理特別多，而且空間中的點(diǎn)、線、面的關(guān)系位置非常復(fù)雜，既容易導(dǎo)致概念、定理的混淆，不容易記憶，又容易導(dǎo)致這些定理在解題中不正確運(yùn)用而出現(xiàn)解題錯(cuò)誤。因此，教師應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這些概念、定理進(jìn)行全面系統(tǒng)的歸納總結(jié)，搞清楚它們之間的區(qū)別和相互聯(lián)系，掌握它們的運(yùn)用條件和方法，構(gòu)建完善系統(tǒng)的知識(shí)體系，這樣在解題時(shí)就能靈活、正確運(yùn)用，從而提高解題效率。

圖3

例如，在學(xué)習(xí)了空間平行與垂直知識(shí)后，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)平行與垂直的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化進(jìn)行歸納總結(jié)，這樣就能系統(tǒng)掌握知識(shí)，靈活運(yùn)用。

結(jié) 語

總之，要提高立體幾何的高考成績，就要加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)和畫圖能力訓(xùn)練，不斷培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力和數(shù)學(xué)思維能力，通過靈活運(yùn)用多種解題方法，就能提高解題能力。

[1]劉曉菲．高中立體幾何解題困難與對(duì)策研究[D]．煙臺(tái)：魯東大學(xué)，2015．

[2]杜瑞姣．立體幾何高考試題分析及教學(xué)對(duì)策研究[J]．洛陽：洛陽師范學(xué)院，2016．