基于變分原理選擇法的一種改進

趙明亮

摘要：在反問題的第一類算子方程中，為了解決應用變分原理選擇法在解空間不連續性，未能逆算子在解空間連續的這一問題，提出了一種基于泛函延拓定理、應用其稠密子集來對逆算子連續定理進行改進，并給出其理論的證明。一個例子說明了這種方法的有效性。

關鍵詞：反問題；變分原理；選擇法；泛函延拓；逆算子連續定理

中圖分類號：TP391.4 文獻標識碼：A 文章編號：1007-9416（2018）01-0235-02

反問題是數學領域中一個重要的分支，在生物醫學、地球物理、工程控制和金融工程中都有廣泛的利用[1]。大量的反問題都以不同的形式出現在材料學、流體學、熱傳導以及工程科學的實際應用中。變分原理選擇法[2-3]在求解反問題的基礎上提出了相應的理論公式，本文利用了選擇法對第一類算子方程的反問題進行了改進，提出了該問題相應的解法。

1 泛函延拓

設與是兩個度量空間，是到的連續算子，且具有單值的逆算子不連續，即條件，滿足，但不滿足條件，這是由于逆算子在上不連續所導致的[5-7]。本文利用泛函延拓的方法，利用逆算子連續定理，找到解空間的一個解集，再把解空間的求解范圍延拓在的一個稠密子集上，使在上連續，因而保證上述問題對于空間偶上是適定的。

2 改進的選擇法的證明

試樣在方程（1）中， 設與是兩個度量空間，是到的連續算子，由逆算子連續定理[8-9]可知，方程（1）在原空間的一個解集上是可行的，然而，該解集卻未達到飽和狀態，基于這種情形，利用解空間的一個子集，由引理1可知，在其子空間內，存在泛函延拓，使得逆算子在的一個稠密子集上連續，由引理2可知逆算子在上具有保泛性，保證算子在解空間上收斂。因此，我們有如下定理：

定理1：設是一個連續具有單值的算子，且為的稠密子集，則逆算子在上連續。

3 實例

4 結語

本文在討論反問題適定的基礎上，提出了一種基于選擇法的泛函延拓，使其在所求解空間問題上也是適定的。運用這種方法既能將原問題的解空間延拓在一個新的領域內，又能保證它的收斂性，是一種非常方便的方法。

參考文獻

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