基于GHM多小波的股票收益率的多尺度分析

周小輝,黃 翠

1.浙江財經大學東方學院，嘉興，314408;2.上海財經大學數學學院，楊浦，200433

1 引 言

股票交易是證券市場中最活躍的資本運作行為之一，其參與者是各式各樣的群體，包括日內交易者、投資組合經理、商業銀行、大型公司和中央銀行等。這些參與者的操作時間尺度大不相同。由于交易者之間不同的決策時間尺度，股票收益率的真實動態分析也隨著不同投資期的時間尺度而變化。因此，低頻與高頻的震蕩將以不同的方式影響市場。所以，需要一種計量經濟的方法在不同的時間尺度去獲取基本的動態結構，這涉及從整體動態到局部動態的分離，例如長期變化中的短暫變化。由于通常采用的僅僅是兩個時間尺度(長期與短期)，因此對于這項工作，傳統的方法能力有限。而小波分析的一個獨有的特征是能夠處理非平穩數據，在時域中局部化，且根據所需的時間尺度對信號進行多尺度分析，小波協方差可以分解在不同時間尺度上兩個隨機過程間的方差。在一個特定尺度上的小波協方差反映了對隨機變量間協方差的貢獻度。小波分析的這種特征可以用來研究不同時間尺度上的協方差/相關系數。因此，近年來，一些學者嘗試用小波分析來分析經濟與金融中的相關問題。例如，龍會典基于小波濾波器研究了一種關于進出口量的復合預測算法[1]； Gallegati在專著《Wavelet Applications in Economics and Finance》中提供了一些利用小波理論在經濟與金融相關問題中進行應用研究的方法概述與應用范例[2]；王健基于極大重疊離散小波變換研究了中美股市的聯動性[3]；張林利用小波分析的方法研究金融危機時點的探測[4]；劉向麗采用小波分析的方法研究了一種股指期貨高頻預測的方法等[5]。可見，小波分析在經濟與金融中的應用已經成為一個重要的研究方向。

綜上所述，本文擬采用多小波算法來研究經濟與金融相關問題。文中選擇的濾波器是GHM多小波濾波器、多小波分解重構算法進行某只股票的多尺度分析。

2 基本原理與公式

多小波理論是建立在r重多分辨分析前提下的。基于r重多分辨分析理論,可以推導出多小波的分解與重構算法。任意一連續信號f(x)∈Vj+1，則分解算法為

(1)

(2)

利用多小波變換得到小波系數時，這些小波系數反映了某個給定尺度下的變化情況同時也可以得到該尺度下小波高頻的方差。換句話說，小波高頻的方差的基本思想是用某些尺度上變化的概念來取代用樣本方差估計變化的整體度量。對于長度為二進制數N=2J的時間序列X的小波高頻的方差，可以利用尺度λj=2j-1的小波系數來估計，表達式如下：

(3)

在統計意義上，計算小波相關系數是必要的。小波高頻的相關系數可以利用{Xt,Yt}的小波協方差與Xt和Yt的小波方差來簡單構造。在尺度為λj時小波相關系數可表示如下：

(4)

3 數據的選取與描述性統計

根據研究的需要，選取2015年11月11日—2017年12月13日期間股票寶信軟件的每日收盤股價(單位：元)。除去周末與節假日，每年有246個交易日，即每年有246個數據點。在研究期限中，一共產生了512個每日數據點，且數據源于同花順。根據描述性統計可知，在2015年11月11日—2017年12月13日期間，寶信軟件每日股價的最大值為70.72元，最小值為14.57元，方差為191.937 6，如表1所示。

表1 基本的統計

注：此表給出了2015年11月11日—2017年12月13日期間寶信軟件每日股價及其每日收益率的均值、方差、最值、峰度以及偏度等信息。偏度和峰度分別定義為E(Xt-μ)3與E(Xt-μ)4，其中μ是樣本均值。

該期間寶信軟件每日股價與每日收益率的變化見圖1。

圖1 寶信軟件股價與日收益率

由圖1可知，股價在2015年11月11日為最大值70.72元，隨后不斷波動緩慢下跌，兩個月之后呈現明顯下跌趨勢，在2016年5月9日(第121個樣本點)每10股轉贈10股，當日收盤股價變為21.24元。之后小幅下調一個多月后股票價格又開始回升至最高25.2元，之后持續波動緩慢下跌至2017年6月2日達到最小值14.57元，至2017年12月13日持續振蕩。在2015年11月11日至2017年12月13日期間，寶信軟件股價的日收益率變化中，每日收益率是通過lnXt+1-lnXt計算所得。

4 多尺度實證分析

采用多小波變換對2015年11月11日—2017年12月13日期間寶信軟件及其每日收益率進行多尺度實證分析。為了研究多小波算法在上證指數及其收益率的應用，選擇長度為3的GHM多小波濾波器。

首先利用多小波分解算法對2015年11月11日—2017年12月13日期間寶信軟件的每日收益率進行多小波分解，以研究對數收益率的多尺度變化，分解原始每日收益率至第6層(第6尺度)。注意越低的尺度對應越高的頻率帶。如圖2所示，高頻d1反映了2015年11月11日—2017年12月13日期間寶信軟件的日收益率2-4天的波動變化(第1層)，而高頻d2給出了4-8天的振蕩情況(第2層)，高頻d3給出了8-16天的變化情況(第3層)。第一層高頻d1的波動振蕩比較劇烈；d2和d3這兩層的波動相對較小；相比16-32天(dd4,第4層)、32-64天(d5,第5層)以及64-128天(d6,第6層)的波動，它們的波動曲線比較光滑，且總體上振幅減小，尤其是d5與d6，其中d4和d6周期性振蕩頻繁，而d5振蕩較弱。這說明隨著尺度的增加，高頻波動的大小不斷遞減；即隨著考察時間期限的增加，相應收益率的波動不斷減小。該結果符合客觀事實，說明短期投資的投資者必須在實際收益的每一次振蕩中做出必要的反應，同時作為長期投資者而言，則沒有這么顯著。另外，在高頻d2與d3中非常直觀地發現在第121個樣本點附近日收益率存在較大的振蕩，這是多小波高頻檢測出的日收益率突變點。它反映了額外的信息，即在2016年5月9日(第121個樣本點)每10股轉贈10股，當日收盤股價變為21.24元。這說明多小波方法可以檢測金融數據(如股價)的突變點。

圖2 寶信軟件日收益率的多尺度分析

另一方面，通過小波方差估計也可以說明上述結論。根據(3)式，計算每日對數收益率高頻d1的方差估計為0.749 6×10-3，d2的方差估計為0.412 8×10-3，d3的方差估計為0.329 2×10-3，d4的方差估計為0.074 3×10-3，d5的方差估計為0.133 1×10-3，d6的方差估計為0.011 0×10-3。圖3給出了方差估計隨著尺度增加的變化。小波方差都是隨著尺度增加而遞減的，從d1到d4呈現近似線性的遞減關系，從d4到d5稍微有所回升，而d5到d6呈現遞減關系。這一現象(方差隨著尺度增加而減少)一方面說明了短期投資收益波動較大，對于投資者必須在實際收益的每一次振蕩中做出必要的反應。另一方面，說明了利用多小波對上證指數的每日收益率進行多尺度分解時層數不必太多，這一點對于減少計算量、提高數據處理速度有益。

圖3 小波方差估計圖

進一步利用Matlab計算了多小波高頻指數d1，d2，d3，d4，d5和d6之間的相關系數如表2。

表2 不同尺度下多小波高頻指數間的相關系數

注：表中給出了多小波高頻指數d1，d2，d3，d4，d5和d6之間的相關性系數。

從表2可知，高頻指數d1和d3相關系數最大，其值為0.006 9，d2和d6相關系數最小，其值為0.000 0，其他高頻指數之間的相關系數有正有負，且絕對值都小于0.07，反映了多小波高頻指數之間的相關性程度較弱。此結論說明了2015年11月11日—2017年12月13日期間寶信軟件的對數收益率波動情況中，2-4天與8-16天的波動變化相關性是最大的，相比其他的期限而言，4-8天與64-128天的波動變化相關性最小。同時，各時間天度之間波動相關性的程度也是較弱的。進而，這種結論表明在不同時間尺度下波動變化的相關性都較弱。所以，投資者可以根據實際情況，在不同時間尺度下分析投資策略與對沖風險。

5 結 論

本文以2015年11月11日—2017年12月13日期間股票寶信軟件的每日股價為例，基于GHM多小波濾波器進行股票收益率的多尺度分析，主要包括以下結論：(1)隨著尺度的增加，高頻波動的大小不斷遞減；即隨著考察時間期限的增加，相應收益率的波動不斷減小。該結果符合客觀事實，說明短期投資的投資者必須在實際收益的每一次振蕩中做出必要的反應，同時作為長期投資者而言，沒有這么顯著；(2)多小波高頻指數的方差隨著尺度增加以遞減的速度減少，之后趨向于平穩。這一現象一方面說明了短期投資收益波動較大，對于投資者必須在實際收益的每一次振蕩中做出必要的反應。另一方面，說明了利用多小波對上證指數的每日收益率進行多尺度分解時層數不必太多，這一點對于減少計算量、提高數據處理速度有益；(3)在不同時間尺度下波動變化的相關性都非常微弱。所以，投資者可以根據實際情況，在不同時間尺度下分析投資策略與對沖風險。