Euler-Voigt方程組的全局適定性

臧愛彬

(宜春學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)研究中心,江西 宜春 336000)

1 引言

Euler-Voigt方程組由Euler方程組正則化過程得到如下形式:

其中T＞0,?是Rn(n=2,3)的有界光滑區(qū)域,u代表是速度,p為壓力,f是外力項以及α為修正參數(shù).

Voigt正則化模型是一類α-修正模型,眾多學(xué)者[1-8]研究該種模型推導(dǎo)以及應(yīng)用.Voigt正則化發(fā)展型方程也是一類特殊的仿拋物型方程,也就是說具有以下形式的方程:

其中,M及N都是非線性甚至是非局部性算子,可參閱文獻(xiàn)[9-10]了解更多有關(guān)仿拋物型方程的研究.由于Voigt正則的簡化性,該α-模型非常適合應(yīng)用于其他熱力學(xué)模型,例如文獻(xiàn)[11]驗證得到二維Q-G方程,還有無粘性Burgers方程的Voigt正則化方程為:

即為著名的水波Berjamin-Bona-Mahony方程[12].文獻(xiàn)[13-14]研究有關(guān)Voigt正則化的磁流體力學(xué)方程和Euler-Voigt方程在周期邊界下的全局適定性問題.

本文主要研究方程組(1)初始條件以及具有齊次Dirichlet邊界條件,即

的全局適定性問題.

2 記號及預(yù)備引理

在陳述以及證明主要結(jié)果之前,引進(jìn)一些常用的記號與引理.記Hs(?)是通常的s階 Lebesgue-Sobolev空間,范數(shù)記‖·‖s.特別地,當(dāng)s=0時,H0(?)=L2(?),而范數(shù)和內(nèi)積分別記為‖·‖和 (·,·).令

其中n=2,3,為??的外法向量.是在 ?中具有緊支集的光滑函數(shù)類,是在 Sobolev空間H1(?)中的閉包,記

C是與u無關(guān)的常數(shù),可能逐行不一樣.

現(xiàn)引入具 Dirichlet邊界條件下的 Stokes算子,即A=Pσ(??),其中Pσ是 Leray-Helmholtz投影算子,記D(A)=(H2(?))n∩V.眾所周知,空間H具有一組標(biāo)準(zhǔn)正交基{ωj},且該組正交基是A的特征值{λj}對應(yīng)的特征函數(shù),Aωj=λjωj.另一方面,為克服壓力帶來的困難,對u,v∈V,令

于是B:V×V→V′,進(jìn)而對于u,v,w∈V易得

為了文章的完整性,引入著名的Aubin-Lions引理如下:

引理 2.1[15](Aubin-Lions引理) 設(shè)X0,X和X1都是Banach空間,且X0?X?X1以及X0緊嵌入X中和X連續(xù)嵌入X1中.對于1≤p,q≤∞,記

那么

(i)若p＜∞,則W緊嵌入Lp([0,T];X)中;

(ii)若p=∞以及q＞1,則W緊嵌入C([0,T];X)中.在證明主要結(jié)果之前，需要定義初邊值問題(1),(2)和(3)的弱解和強解.

定義 2.1設(shè)u0∈V,向量函數(shù)u∈C([0,T];V)以及滿足以下積分等式:

對所有的v∈V成立,則稱u是初邊值問題(1),(2)和(3)的弱解,進(jìn)而如果u0∈D(A),則稱u是初邊值問題(1),(2)和(3)的強解.

3 主要結(jié)果及其證明

現(xiàn)陳述并給出初邊值問題(1),(2)和(3)的全局弱解存在唯一性定理與證明.

定理 3.1設(shè)u0∈V,則存在唯一的向量函數(shù)u∈L∞(0,T;V)以及對于任意的T＞0都滿足積分等式(5).

證明令其中cj(t)待定.為確定cj(t),則um需滿足以下初值問題:

其中Pm是從H到Hm=span{ω1,···,ωm}的正交投影,以及B(um,um)定義如上.

首先,利用算子(I+α2A)?1作用于方程(6),那么方程(6)等價于形如˙y=F(y)的抽象常微分方程組,其中F:Hm→Hm的二次多項式.由常微分方程組存在唯一性定理可知,方程組(6)在區(qū)間[0,Tm]存在唯一的一組解um∈C1([0,T];Hm).令是方程組(6)的最大存在區(qū)間.

對上式兩邊在區(qū)間[0,t]上進(jìn)行積分可得

由于上式右端關(guān)于m及時間是一致的,于是可推出

另外一方面,利用方程組(6)不難知,

以及

對于任意T＞0,由Banach-Alaoglu定理以及引理2.1,在方程組(6)兩邊取極限可知,存在一向量函數(shù)u以及{um}的一個子列,仍記{um},當(dāng)m→∞時,

固定k∈N并且m≥k,任取w∈C1([0,T];Hk)且w(T)=0.由(6)易得

首先,由(10),(11)發(fā)現(xiàn)當(dāng)m→∞時,

現(xiàn)只需驗證三元線性項的收斂性,即證當(dāng)m→0時,

為此令

則由(4)可得

因為w∈C1([0,T];Hk)(m≥k),Pmw=w,(7)和(10)以及H?lder不等式易知,I1(m)→0及I2(m)→0,于是I(m)→0.注意到在V中um(0)=Pmu0→ u0.因此在 (14)式中讓m→∞以及w∈C1([0,T];Hk)且w(T)=0,有

又因為C1([0,T];Hk)稠于C([0,T];V),從(15)可知u是初邊值問題(1),(2)和(3)的弱解.由估計(10)-(13)式以及(I+α2A)?1的有界性知,u∈C([0,T];V)以及

現(xiàn)在證明該解也是唯一的,設(shè)u1,u2都是初邊值問題(1),(2)和(3)的弱解,將u1,u2代入方程組(1)后相減,令δu=u1?u2得到

又因為

于是

由不等式(18)知唯一性.證畢.

注 3.1在上述定理的證明過程中不等式(18)也蘊含了由定理1.1得到的弱解也是對初值連續(xù)依賴的.

利用定理1.1的方法以及類似于Navier-Stokes方程的證明過程[16],可得到以下高階正則性定理:

定理 3.2設(shè)s≥1,u0∈(Hs(?))n∩V(n=2,3),則初邊值問題(1),(2)和(3)由定理1.1得到的解為u∈L∞([0,T];(Hs(?))n∩V).

證明利用算子As(s≥1)的性質(zhì)以及文獻(xiàn)[16]研究有關(guān)Navier-Stokes方程的證明過程,具體過程省略.

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