Orlicz空間內(nèi)一類有理函數(shù)逼近的一種Jackson型估計(jì)

張旭,吳嘎日迪

(內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022)

1 引言及主要結(jié)果

Rnl表示分母是次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式,分子是線性函數(shù)的有理函數(shù)的全體,即

梅雪峰等在文獻(xiàn)[1]中研究了在Lp內(nèi)一類有理函數(shù)逼近的問(wèn)題,所得結(jié)果如下：

定理 A[1]設(shè)l是自然數(shù),1＜p＜∞,如果f(x)∈Lp[?1,1]在 (?1,1)內(nèi)改變l次符號(hào),則存在?1＜b1＜b2＜ ···＜bl＜1和使得

其中

Cp,b,l表示與p,b,l有關(guān)的正常數(shù).

本文在Orlicz空間內(nèi)研究類似的有理函數(shù)逼近問(wèn)題.

本文用M(u)和N(v)表示互余的N函數(shù),有關(guān)N函數(shù)的定義和性質(zhì)見(jiàn)文獻(xiàn) [2].設(shè)L?M[?1,1]表示區(qū)間 [-1,1]上N函數(shù)M(u)生成的 Orlicz空間,‖·‖M是 Orlicz范數(shù),定義如下:

其中

是v(x)關(guān)于N(v)的模.

對(duì)于f∈L?M[?1,1]和 0≤t≤1,定義連續(xù)模如下：

并記

定義 1.1[3]設(shè)f∈ L?M[?1,1],如果有l(wèi)個(gè)點(diǎn)?1＜a1＜ a2＜ ···＜ al＜1,使得

且對(duì)所有的j=1,2,···,l和 0＜ η ＜aj+1?aj(aj+1=1),

這里要求

則說(shuō)f(x)在點(diǎn)a1,a2,···,al處改變l次符號(hào).

本文的主要結(jié)果如下：

定理 1.1設(shè)f(x)不恒等于 0,f(x)在 (?1,,1)內(nèi)恰好改變l次符號(hào),則存在?1＜b1＜b2＜ ···＜bl＜1和使得

其中

CM,b,l表示與M,b,l有關(guān)的正常數(shù).在不同處表示不同的值.

2 若干引理

引理 2.1[4]設(shè)且f(x)延拓如下:

則

并且

引理 2.2[5-6]設(shè)在 (?1,1)內(nèi)恰好改變l次符號(hào).記

為f(x)的一階Steklov函數(shù),則對(duì)充分小的h＞0,fh(x)在區(qū)間內(nèi)恰好改變l次符號(hào).

引理 2.3[4]設(shè)fh(x)為f(x)的一階 Steklov函數(shù),記

為f(x)的二階Steklov函數(shù),則對(duì)充分小的h＞0,有

引理 2.4[3]定義修正的Jackson核如下:

其中

Cn滿足

對(duì)周期為 2π的可積函數(shù)f(x)(記)定義

則

引理 2.5[7]設(shè),x∈I?[a,b],定義

則

引理 2.6[1]令

對(duì)于θ,s ∈[?π,π]和 cos(θ+s)≠bj,j=1,2,···,l,有

3 定理的證明

在下面的證明中,假設(shè)

在區(qū)間 (?1,1)內(nèi)恰好改變l次符號(hào),f(x)不恒等于 0.按引理 2.1的方式把f(x)∈L?M[?1,1]延拓成Fn(x)∈L?M[?2,2],顯然Fn(x)在區(qū)間 (?2,2)恰好改變l次符號(hào),且滿足

對(duì)x∈[?2,2],對(duì)充分小的h＞0,定義Fn(x)的二階Steklov函數(shù)即

對(duì)應(yīng)于f(x)在(?1,1)內(nèi)的l次變號(hào)點(diǎn)對(duì)于給定的a1＜a2＜···＜al,在?1＜b1＜b2＜···＜bl＜1,這些點(diǎn)處改變符號(hào).對(duì)于給定的ε＞0,

不妨設(shè)

令

取通常意義下的Jackson核為:

其中常數(shù)dn滿足

由文獻(xiàn)[8]可知dn～n?7,并且有

定義

因此pn(x)的定義是合理的,且是一個(gè)n次多項(xiàng)式,在以下的證明中取

由引理2.1,引理2.3得

由文獻(xiàn)[1]知,

利用引理2.5,得

為了估計(jì)‖I3‖M,劃分區(qū)間如下:

對(duì)x∈S1,有Cauchy-Schwarz不等式可知,

所以有

對(duì)x∈S1,則由文獻(xiàn)[1]得

注意到x=cosθ,由引理 2.3,引理 2.4,引理 2.5和

得

由引理2.6可得

令j ∈ {1,2,···,l},并定義

對(duì)任何x,u∈[?1,1],注意到x=cosθ,u位于 cos(θ+t+s)和bj之間,當(dāng)s∈Ej時(shí),

于是由引理2.4得

另一方面,當(dāng)

由引理2.5可得

所以

對(duì)于x∈[?1,1],有

所以

當(dāng)x∈S2時(shí),有

由引理2.4得

令

為x∈S2的Jackson核,當(dāng)x∈S2,類似x∈S1的估計(jì)

綜上所述,

所以

定理得證.

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