CR(n,1)中半環上格林關系的開同余

練利鋒

(重慶第二師范學院數學與信息工程學院,重慶 400065)

1 引言及預備知識

設 (S,+,·)是 (2,2)-型代數,其中 “+” 和 “·” 是二元運算.稱 (S,+,·)是半環,若S滿足:

(1)(S,+)和 (S,·)是半群;

(2)(S,+,·)滿足等式x(y+z)≈xy+xz和(x+y)z≈xz+yz.

設ρ是半環(S,+,·)上的等價關系.如果ρ還滿足:

則稱ρ是半環(S,+,·)上的同余關系.

半環可以看作是由分配律聯系著的同一非空集合上的兩個半群,因此,從半環的加法半群或乘法半群出發是研究半環的一種思路.格林關系在半群理論發展過程中扮演著非常重要的角色,而半環的乘法半群和加法半群都有各自的格林關系,將(S,+)上的格林L(R,D)關系記為上的格林L(R,D)關系記為因此對半環的乘法半群和加法半群的格林關系的研究是有意義的.許多代數學者對半群(半環)上的格林關系進行了研究.例如:文獻[1]對半群上的格林關系進行了研究,文獻[2]對完全正則半群上的格林關系進行了研究,文獻[3]研究了冪等元半環的乘法班群上的格林D關系,文獻[4]主要研究了冪等元半環上的格林L關系,文獻[5-11]主要對冪等元半環上及其相關半環上的格林關系進行了刻畫,得到了一些有趣的結論.然而,大多數情況下,格林關系并不是同余關系,但我們發現用格林關系的開同余代替同余關系本身更加方便.

設S是半環,若S滿足恒等式:

則對任意的a∈S,由aan?2a=a且aan?2=an?1=an?1a可知 (S,·)是完全正則半群.因此將滿足(1),(2),(3)這三個附加恒等式的所有半環作成的簇記為CR(n,1).

設S是半環,ρ為S上的等價關系.用ρ⊕表示包還在ρ中的(S,+)上最大的同余關系,稱其為由ρ確定的(S,+)上的開同余.類似的,由ρ確定的(S,·)上的開同余記為ρ⊙.由文獻 [6]可知,

盡管ρ⊕和ρ⊙是半群 (S,+)與 (S,·)上的同余關系,但它們并不是半環(S,+,·)上的同余關系.稱ρ⊕為加法開同余,ρ⊙為乘法開同余.并稱(S,+,·)上的包含在ρ中的最大的同余關系為S上的開同余,記為ρ?.

設S∈CR(n,1).則由文獻[1]易得(S,+)和(S,·)上的和可分別表示為:

本文主要研究半環類CR(n,1)上格林關系的同余,并得到了一些有趣的結論.

2 CR(n,1)中半環上格林關系的開同余

引理 2.1[9]設ρ為半環S上的等價關系,則ρ的開同余ρ?為ρ?=(ρ⊕)⊙,或等價的有

下面主要考慮半環類CR(n,1)中半環上的一些特殊的開同余,也就是半環上格林關系的開同余.

由文獻[1]可知,對于任意半環(S,+,·),是(S,+)上的右同余,是(S,+)上的左同余,且與都是(S,·)上的同余關系.同樣,文獻[8]證明了是半環S上的同余關系.因此,它們的開同余可表示成下面的簡單形式.

引理 2.2設(S,+,·)∈CR(n,1),則與可簡單的表示為:

?a,b∈ S.

引理 2.3設 (S,+,·)∈CR(n,1),則?a,b∈S,有

定理 2.1設S,T為任意半環,φ:S→T為滿同態,則且a,b∈S.若在S中 (a,b)∈S,則在T中 (aφ,bφ)∈T.

證明我們只證明類似可證.為了方便設0φ=0,1φ=1.

設在S中,則

于是

從而可知在T中有 (aφ,bφ)∈χ.

設(a,b)∈˙L?,對于任意的p,q∈T0,r1,r2∈T1.存在x,y∈S0,u,v∈S1,使得

已知在S中,

而由φ是同態映射可知,在T中,

即

因此在T中,

文獻[8]利用半環S的加法半群(S,+)上的格林關系的開同余給出了半環左、右約簡的概念,類似的,我們也可以借助半環的乘法半群(S,·)上的格林關系的開同余定義半環的左、右約簡.

定義 2.1如果是半環S上的恒等關系,則稱S為左約簡的,對偶的,如果是半環S上的恒等關系,則稱S為右約簡的.

定理 2.2設(S,+,·)∈CR(n,1),則分別是左、右約簡的.

證明設且φ:S→T為自然同態映射,令0φ=0,1φ=1.

設?a,b∈S,使得在T中滿足由于為半環T上的同余關系,因此對于任意的x,y∈S0,u∈S1且

于是可得

因此存在r1,r2∈S1,使得

從而可知

[1]Petrich M,Reilly N R.Completely Regular Semigroup[M].New York:Wiley,1999.

[2]Howie J M.Fundamentals of Semigroup Theory[M].Oxford:Oxford Science Publication,1995.

[3]Burris S,Sankppanaver H P.A Course in Universal Algebra[M].New York:Springer Verlag,1981.

[4]Pastijn F,Zhao X Z.Green′sD-relation for the multiplicative reduct of an idempotent semiring[J].Arch.Math.(Brno),2000,36:77-93.

[5]Zhao X Z,Shum K P,Guo Y Q.L-subvarieties of the variety of idempotent semirings[J].Algebra Universalis,2001,46:75-96.

[6]Zhao X Z,Guo Y Q,Shum K P.D-subvarieties of the variety of idempotent semirings[J].Algebra Colloquium,2002,9:15-28.

[7]Zhao X Z.Idempotent semirings with a commutative additive reduct[J].Semigroup Forum.,2002,64:289-296.

[8]Pastijn F,Zhao X Z.Varieties of idempotent semirings with commutative addition[J].Algebra Universalis,2005,54:301-321.

[9]Damljanovi? N,?iri?v M,Bogdanovi? S.Congruence openings of additive Green′s relations on a semiring[J].Semigroup Forum.,2011,82(3):437-454.

[10]練利鋒,任苗苗,陳益智.關于一類半環上的格林關系的若干研究[J].純粹數學與應用數學,2014,30(5):420-427.

[11]秦官偉,任苗苗,邵勇.關于半環上格林關系的開同余[J].純粹數學與應用數學,2012,28(5):668-675.