物理學中的單過程和多過程

閆昊宇

晉城市第一中學 山西晉城 048000

下面探討這些方面的幾個例子：

一、多級火箭問題

工質，即實現熱能和機械能轉化的媒介物質，通過其在熱機中膨脹做功推動火箭、飛機等的行進。就火箭來說，如何能夠在節省燃料的同時使飛行高度最大化，向來都是人們所關注的問題。

假設有一裝滿燃料的火箭，其總質量為M，燃料的質量為m。當火箭向外噴出燃料時，燃料相對于火箭的速度為u。火箭在噴射過程中內力遠大于外力，所以將重力和阻力忽略來簡化問題。

（1)火箭在短時間內一次性噴出所有燃料:

根據動量守恒，有：（M-m）v0=m（u-v0），（v0 是噴出燃料后火箭的末速度）,解得:v0=muM。

（2)火箭在在一段時間內間隔噴出所有燃料，設噴射了n次：

則有：

2第一次：M-mnv1=mn u-v1；

2第二次：M-mnv1=M-2mnv2-mn u-v2；

2第三次：M-2mnv2=M-3mnv3-mn u-v3；

2第四次：M-3mnv3=M-4mnv4-mn u-v4；

……

2第k次：M-（k-1)mnvk-1=M-kmnvk-mn u-vk；

總結規律，可得到：vk-vk-1=1nmuM-k-1nm(2≤k≤n）。

則有:

vn=vn-vn-1+vn-1-vn-2+vn-2-vn-3+…+v2-v1+v1

=mu1n(1M+1M-mn+1M-2mn+…+1M-(n-1)mn)

=mui=0n-1（1M-in×1n）

如圖：f(x)=1M-mx：

可以看到，隨著n的增大，圖形陰影部分面積越大，則vn越大。

當n=1時，v1=v0（v0即為火箭一次性噴出燃料的末速度）。因此，將燃料分開噴出的次數越多，最終獲得的速度越大。顯然，火箭獲得的速度不會無限增大，當n→∞時，有：vn=mui=0∞（1M-in×1n）=mu0m1M-mxdmx=mulnMM-m

此時的速度最大。

從以上推導可以看出，將燃料分多次噴出要比一次噴出最終獲得的速度大，這也就是現代火箭多采用多級的原因。但是由于技術限制，火箭級數一般不超過四級。

二、物體加熱問題

在生活中，人們有時會遇到用熱液體去加熱零部件（預熱）使之達到要求溫度的問題。類似的，這個問題也存在多過程與單過程的區別：設有一質量為M，溫度為a K的工件，用質量為m，溫度為b K的液體去加熱工件（b＞a）。工件的比熱容為c1，液體的比熱容為c2，不計倒水過程中的熱損失。

（1)一次性倒光液體，達到熱平衡后，有：c2m（b-t0）=c1M（t0-a）。

解得工件末溫：t0=c 2mb+c1MaMc1+mc2。

（2)分n次加入液體，每次打到熱平衡后將液體倒掉：則：

2第一次：c2mn（b-t1）=c1M（t1-a）；

2第二次：c2mn（b-t2）=c1M（t2-t1）；

2第三次：c2mn（b-t3）=c1M（t3-t2）；

2第四次：c2mn（b-t4）=c1M（t4-t3）；

……

2第 k 次：c2mn（b-tk）=c1M（tk-tk-1）；

歸納可得到：tk=c2bmnc1M+c2mn+c1Mc1M+c2mntk-1。

令：P=c2bmnc1M+c2mn ，s=c1Mc1M+c2mn。

可得遞推數列：

s(tk-1+ps-1)=tk+ps-1；

tk=(t1+ps-1)sk-1-ps-1。

又有t1=c1Ma+c2bmnc1M+c2mn=p+as。

帶入 p、s、t1 進行化簡，有:

tk=(a-b)sk+b；

tn=(a-b)sn+b。

由于s＜1，則當n增加時，sn減少，有a-b＜0，故（a-b）sn+b增大。

當 n=1時，相當于一次性倒光液體。當 n→∞時，sn=11sn=1(1+mc2Mc1n)n。

經上網查閱資料，令mc2Mc1=D，則sn=11+D+D22!+D33!+…+Dnn!+…=e-D，tn=(a-b)e-D+b。

由此可知，分開倒入液體的次數越多，末態的溫度越高，即升高到相同溫度所需熱液越少。

三、電容器充電問題

設有一電容器電容為c。現有n節內阻為r，電動勢為E的電池，使電容器積累Q的電量。先討論多過程和單過程的區別：

（1)將n節電池一次性串連接到電容器的兩端：

電容器的電量將會達到Q，意味著在充電過程中有Q的電荷流過電源。電池所做的功W0=nEQ。

（2)將n節電池一節一節串入電路，當接上一節電池后電路中無電流時再接下一節電池：由于每次的電壓增加E，則每次電容器兩端的電荷量△Q=Ec=Qn。

2第一次：W1=EQn；

2第二次：W2=2EQn；

2第三次：W3=3EQn；

……

2第 n 次：Wn=nEQn。

則將電容器充到電荷量為Q的整個過程，電源做功：

W 總=W1+W2+…+Wn=EQn(1+2+…+n)=EQ2(n+1)。

顯然，當n≥2時，W0＞W總，一次性接入電池所做的功比一節節接入做的功多。所以將電容器分步充電可以減少能量損失。

實際上，在日常生活中，還有許多現象涉及到單過程和多過程，而它們還在等著人們去發現，去探索。物理學是充滿著神奇的，只要用心觀察，善于發現，它帶給人們的驚喜將是無窮無盡的。