淺析平面向量在圓錐曲線問題中的應(yīng)用

馮永杰

（甘肅省隴南市兩當(dāng)縣第一中學(xué)，甘肅 隴南）

圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容，是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在歷年的高考中都占有較大的比例。這部分知識(shí)龐雜、解題計(jì)算量大、綜合程度高。掌握用向量作為工具，可以很便捷地解決一些解析幾何的問題。

一、軌跡及定值問題

（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；

（2）由題可知 F（-1，0），設(shè) Q（-3，t），P（m，n），則-3m-m2+tn-n2=1，由（1）有 m2+n2=2，則有 3+3m-tn=0，所以，OQ·知直線OQ和PF垂直，即過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F。

【點(diǎn)評】本題考查由向量關(guān)系提供點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，通過運(yùn)算求軌跡方程的方法，及解決動(dòng)直線過定點(diǎn)的問題。體現(xiàn)了用向量處理這種關(guān)系的便捷性。

二、取值范圍及最值問題

（2017·浙江理）如圖，已知拋物線x2=y，點(diǎn)拋物線上的點(diǎn)過點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q。

（Ⅰ）求直線AP斜率的取值范圍；

（Ⅱ）求|PA|·|PQ|的最大值。

【點(diǎn)評】本題以拋物線為載體，考查了解析幾何中求斜率及最值的方法，在求最大值的過程中，常規(guī)解法是利用兩點(diǎn)間的距離公式，經(jīng)過運(yùn)算簡化為函數(shù)問題來解決，其中運(yùn)算量很大。可利用平面向量數(shù)量積的意義和運(yùn)算性質(zhì)，將問題直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題，向量的這種工具性優(yōu)勢便發(fā)揮出來了。

三、存在問題的探索

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P的動(dòng)直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)。是否存在常數(shù)λ使得為定值？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由。

（Ⅱ）①當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)AB的解析式為y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）聯(lián)立

因 Δ=32k2+8>0，由韋達(dá)定理可知

這里只有當(dāng)λ-1=0，才與k的取值無關(guān)，∴λ=1。

②當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，AB即為CD，

【點(diǎn)評】本題考查利用向量的相關(guān)知識(shí)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線方程等問題，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般、分類與整合等數(shù)學(xué)思想。

向量具有代數(shù)與幾何形式的雙重身份，是聯(lián)系多項(xiàng)知識(shí)的紐帶，成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)，解析幾何與平面向量的融合交匯是近幾年高考命題改革的熱點(diǎn)。在解析幾何中處理有關(guān)長度、角度、共線、平行、垂直、射影等問題以及軌跡、范圍、最值、定值、對稱等典型問題時(shí)，以平面向量作為工具，引導(dǎo)學(xué)生多角度進(jìn)行思考，使問題思路更清晰，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。