巧用導數知識解函數相關問題

摘 要：隨著課改的不斷深入，高考對導數知識考查的要求逐漸加強，利用導數研究函數的恒成立、求最值、方程的根、不等式的證明等問題是近幾年高考中出現的一類熱點題型。本文就導數在解決函數問題中一些應用技巧從四個方面作個初步探究。

關鍵詞：導數；函數問題；解題技巧

導數是對函數圖像和性質的總結和拓展，是研究函數單調性、極值、最值，討論函數圖像的變化趨勢的重要工具，它的引入為解決函數相關問題提供了新的視野。數學上的許多問題，用初等數學方法是不能解決的，或者難以解決，而通過數學模型建立函數關系，利用函數思想，然后用導數來研究其性質，充分發揮導數的工具性和應用性的作用，可以輕松簡捷地獲得問題的解決。

技巧一：巧用導數證明不等式

不等式的證明因其靈活多變、技巧性強著稱，利用導數研究函數的單調性，再由單調性來證明不等式是函數、導數、不等式綜合中的一個難點，也是近幾年高考的熱點。導數作為研究一些不等式恒成立問題的工具，體現了導數應用上的新穎性以及導數思想的重要性。利用導數證明不等式的關鍵在于構造函數，只要函數構造恰當，推證過程就會變得特別簡潔、明快。這種方法不僅有獨特的功能，而且還可以培養思維能力和邏輯推理能力，提高解題效率。

【例1】 證明：當x>1時，有ln2（x+1）>lnx·ln（x+2）。

分析：本題不等式比較復雜，直接用初等的方法證明難度較大，但如果通過巧妙的變形，證明就會化難為易。只要把要證的不等式變形為ln（x+1）lnx>ln（x+2）ln（x+1），構造輔助函數 f（x）=ln（x+1）lnx，則只要證明f（x）在（1，+∞）上是單調減函數即可。

證明：取輔助函數f（x）=ln（x+1）lnx（x>1），

于是有f′（x）=lnxx+1-ln（x+1）xln2x=xlnx-（x+1）ln（x+1）x（x+1）ln2x。

由于1

因而在（1，+∞）內恒有f′（x）<0，所以f（x）在區間（1，+∞）內嚴格遞減，

于是，由1f（x+1）即ln（x+1）lnx>ln（x+2）ln（x+1），

從而有ln2（x+1）>lnx·ln（x+2）。

技巧精髓：解題中常遇到一些不等式的證明，看似簡單，但卻無從下手，很難找到切入點。這時不妨變換一下思維角度，從所證不等式的結構和特點出發，結合自己已有知識，構造一個新的可導函數，再借助導數確定函數的單調性或求最值，利用單調性實現問題的轉化，從而使不等式得到證明。用導數方法證明不等式，其步驟一般是：構造可導函數——研究單調性或最值——得出不等關系——整理得出結論。

技巧二：巧用導數求參數范圍

運用導數確定存在性問題或恒成立問題中的參數取值范圍是一類常見的探索性問題，此類問題涉及的知識面廣，綜合性強。解決的主要途徑是在函數思想的指引下，將含參數不等式的存在性或恒成立問題根據其不等式的結構特征，恰當地構造函數，靈活地進行代數變形，綜合地運用多科知識，等價轉化為含參函數的最值討論。

【例2】 已知函數f（x）=a+-x2-4x，g（x）=43x+1，若f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值范圍。

分析：本題考查了導數在求參數范圍中的應用，通過移項作差構造輔助函數作為橋梁，利用導函數，將問題轉化成求函數的最值，從而把問題巧妙解決。

解：由不等式f（x）≤g（x）得：a+-x2-4x≤43x+1即：

a≤--x2-4x+43x+1 ①

構造函數，令h（x）=--x2-4x+43x+1，x∈[-4，0]。

要使不等式①恒成立，只要a≤h（x）min即可，

用導數知識可以求得h（x）min=-5，故a≤-5，

∴a的取值范圍為（-∞，-5]。

技巧精髓：參數問題形式多樣，方法靈活多變，技巧性較強。解決這類問題，主要是運用等價轉化的數學思想，巧妙利用題設條件建立變量的關系式，將所求變量和另一已知變量分離，得到函數關系，通過不斷地轉化，把不熟悉、不規范、復雜的問題轉化為熟悉、規范甚至模式化、簡單的問題，從而使這種具有函數背景的范圍問題迎刃而解。

技巧三：巧用導數研究方程的根

方程的根就是與之對應的函數的零點，通過導數的方法研究函數的性質，根據函數的性質畫出函數的圖像，然后根據函數的圖像確定函數零點的情況，這就是使用導數的方法研究方程的根的基本思想。利用導數研究方程根的過程中用的主要數學思想方法就是數形結合，此法在高次方程以及超越方程根的分布問題的研究中有著傳統工具無法比擬的優越性。

技巧精髓：使用導數的方法研究方程的根的個數問題，其基本思路是構造函數后，使用數形結合方法，討論兩個函數圖像交點的個數。即先通過“數”的計算得到函數的單調區間和極值，再使用“形”的直觀性確定函數圖象與x軸的交點情況，從而得到方程根的分布情況，解題時應牢記：導數是工具、圖形是核心、找根是目標。

參考文獻：

[1]李海富.如何利用導數知識解決函數問題[J].試題研究：教學論壇，2013年第4期.

[2]何偉軍.如何利用導數證明不等式[J].中學生數學，2012年4月.

作者簡介：

趙芯，福建省福州市，福建師大二附中。