一類非線性系統(tǒng)的魯棒擴(kuò)展卡爾曼濾波算法

湯代佳 尚東方 章敏

摘 要為了提高對(duì)非線性系統(tǒng)狀態(tài)的估計(jì)精度，針對(duì)傳統(tǒng)濾波算法的不足，提出一種基于不確定矩陣表示的魯棒擴(kuò)展卡爾曼濾波方法。研究了一類噪聲相關(guān)的非線性系統(tǒng)，首先對(duì)其非線性函數(shù)線性化并用不確定矩陣描述線性化產(chǎn)生的誤差高階項(xiàng)，然后推導(dǎo)出濾波器的估計(jì)誤差協(xié)方差的表達(dá)式，接著利用兩個(gè)差分方程構(gòu)造該協(xié)方差的一個(gè)動(dòng)態(tài)上界，再計(jì)算最優(yōu)的濾波器增益，最后通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證所提魯棒擴(kuò)展卡爾曼濾波算法的有效性。

【關(guān)鍵詞】魯棒濾波 非線性系統(tǒng) 協(xié)方差上界 擴(kuò)展卡爾曼濾波

1 引言

狀態(tài)估計(jì)是指以非直接的方式，根據(jù)傳感器的測(cè)量信息在一定的估計(jì)準(zhǔn)則下獲取研究目標(biāo)的內(nèi)部狀態(tài)。近年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和傳感器技術(shù)的不斷發(fā)展，狀態(tài)估計(jì)理論在目標(biāo)跟蹤、模式識(shí)別、無(wú)源定位及故障診斷等諸多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。合理的濾波器設(shè)計(jì)是實(shí)現(xiàn)精確狀態(tài)估計(jì)的關(guān)鍵因素，卡爾曼濾波器由于實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、造價(jià)低廉等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛采用。然而，由于機(jī)動(dòng)目標(biāo)的移動(dòng)通常都是非線性的，而經(jīng)典的卡爾曼濾波僅適用于線性系統(tǒng)，因而要求人們探索和研究新的濾波方法。近年來(lái)，學(xué)者們提出了擴(kuò)展卡爾曼濾波技術(shù)，并將其成功應(yīng)用到非線性領(lǐng)域。

擴(kuò)展卡爾曼濾波的基本思想是利用泰勒展開(kāi)將所研究的非線性系統(tǒng)線性化，保留線性項(xiàng)，舍棄高階項(xiàng)，然后再利用卡爾曼濾波。雖然該方法能夠?qū)崿F(xiàn)狀態(tài)估計(jì)，但舍棄高階項(xiàng)損失了信息，導(dǎo)致估計(jì)精度不高，對(duì)一些對(duì)非線性較嚴(yán)重的系統(tǒng)，甚至?xí)?dǎo)致濾波器發(fā)散。為了減少線性化帶來(lái)的影響，文獻(xiàn)[12]針對(duì)一類參數(shù)不確定系統(tǒng)，通過(guò)保留高階線性化誤差項(xiàng)，提出新的擴(kuò)展卡爾曼濾波方法。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[13]進(jìn)一步考慮了測(cè)量丟失和隨機(jī)非線性的影響，文獻(xiàn)[14]則提出了利用近似泰勒展開(kāi)的二階項(xiàng)進(jìn)行濾波器設(shè)計(jì)的思想。需要指出的是，上述系統(tǒng)都假設(shè)系統(tǒng)噪聲和測(cè)量噪聲是互不相關(guān)的白噪聲，但實(shí)際系統(tǒng)中，噪聲相關(guān)非常普遍，很大程度上限制傳統(tǒng)濾波器的應(yīng)用，同時(shí)相關(guān)的噪聲也為設(shè)計(jì)新的濾波器帶來(lái)困難。

鑒于此，本文針對(duì)一類系統(tǒng)噪聲和測(cè)量噪聲相關(guān)的非線性系統(tǒng)展開(kāi)狀態(tài)估計(jì)方法的研究，利用不確定矩陣描述線性化誤差，結(jié)合分析相關(guān)噪聲導(dǎo)致的交叉項(xiàng)給出濾波誤差協(xié)方差的一個(gè)上界，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)這類非線性系統(tǒng)的魯棒卡爾曼濾波器。

2 問(wèn)題描述

考慮一類非線性離散時(shí)間系統(tǒng)：

（1）

（2）

其中、和分別表示目標(biāo)的狀態(tài)、輸入和傳感器測(cè)量輸出，和分別為系統(tǒng)噪聲和測(cè)量噪聲，Bk、和Ck是合適維數(shù)的矩陣，wk和vk的統(tǒng)計(jì)特性為：

（3）

本文我們?cè)O(shè)計(jì)如下形式的濾波器：

一步預(yù)測(cè)：

（4）

測(cè)量更新：

（5）

其中是狀態(tài)xk的估計(jì)值，是xk+1的一步預(yù)測(cè)值，Kk+1是待設(shè)計(jì)的濾波器增益，系統(tǒng)狀態(tài)的初值為。

3 濾波器設(shè)計(jì)

3.1 模型變換

記k時(shí)刻xk的濾波誤差和xk+1的預(yù)測(cè)誤差分別為和，由（1）和（4）可得：

（6）

由于（6）中含有非線性函數(shù)，為了計(jì)算濾波誤差協(xié)方差，將在點(diǎn)做泰勒展開(kāi)：

（7）

其中

，是泰勒展開(kāi)的高階項(xiàng)。進(jìn)一步的，高階項(xiàng)可表示為：

其中Fk是尺度矩陣，Lk為設(shè)計(jì)濾波器增加了自由度，不確定的時(shí)變矩陣表示線性化誤差，滿足：

因此，（6）可重新寫為：

（8）

進(jìn)一步的，測(cè)量新息可表示為：

（9）

因此，我們有：

（10）

由（8）和（10），可得相應(yīng)的預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差：

（11）

和濾波誤差協(xié)方差：

（12）

其中

由式（11）和（12）可看出，不確定項(xiàng)導(dǎo)致無(wú)法直接計(jì)算預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差和濾波誤差協(xié)方差的解析解，同時(shí)相關(guān)噪聲導(dǎo)致的交叉項(xiàng)Dk和Gk+1為設(shè)計(jì)濾波器增益Kk+1帶來(lái)了困難。為了刻畫濾波器的性能，我們將找出濾波誤差協(xié)方差的一個(gè)上界，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)合適的濾波器增益。

3.2 濾波器增益設(shè)計(jì)

在本小節(jié)我們將依次給出和的上界，接著設(shè)計(jì)相應(yīng)的濾波器增益Kk+1使得該上界最小。在給出主要結(jié)果之前，我們引入以下兩個(gè)有用的引理。

引理1：給定矩陣A，H，E和F，滿足FFT≤1。令X是一個(gè)對(duì)稱正定矩陣，γ是任意一個(gè)滿足的常數(shù)，我們有如下不等式成立：

（13）

引理2：對(duì)任意向量和標(biāo)量，有如下不等式成立

（14）

定理1：考慮濾波器（4）和（5）的預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差和濾波誤差協(xié)方差。若存在標(biāo)量、和矩陣，（），滿足如下兩個(gè)離散的黎卡提方程：

（15）

（16）

和不等式，其中初值的為，則矩陣和分別是和的上界，即：

證明：假設(shè)在k時(shí)刻有和成立，接下來(lái)將證明在k+1時(shí)刻，有成立。

首先，由引理1和式（11）可得：

（17）

然后，由引理2可知：

（18）

故由（17）和（18）可得

（19）

再由式（11）、（15）和不等式（19）可知

進(jìn)而，根據(jù)式（12）和（16）可知：

（20）

得證。

在定理1中，濾波器增益Kk+1可取任意維數(shù)合適的矩陣，接下來(lái)，我們將設(shè)計(jì)合適的Kk+1使得濾波誤差協(xié)方差的上界最小。

定理2：考慮系統(tǒng)（1）和濾波器（4）-（5），濾波器增益Kk+1?。?/p>

時(shí)，可使上界最小，其最小值表達(dá)式為：

（21）

證明：為了得到的最小值，我們對(duì)矩陣的跡關(guān)于Kk+1求導(dǎo)，得到：

整理可得：

即：

將Kk+1代入（16），即得的最小值（21）。

4 計(jì)算機(jī)仿真

本節(jié)給出狀態(tài)估計(jì)的仿真，考慮沿直線移動(dòng)的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，目標(biāo)的狀態(tài)為，其中x1，k和x2，k分別表示該目標(biāo)的位移和速度，非線性函數(shù)f（xk）的表達(dá)式為：

，

其他參數(shù)分別為：

，，，系統(tǒng)噪聲，測(cè)量噪聲，θk是均值為 方差為 的高斯白噪聲，初值和。為了說(shuō)明所提算法的有效性，我們同樣給出傳統(tǒng)的擴(kuò)展卡爾曼濾波的曲線圖，仿真結(jié)果如圖1-4所示，其中圖1和圖2分別給出了目標(biāo)的兩個(gè)狀態(tài)分量的真實(shí)值和基于擴(kuò)展卡爾曼濾波和魯棒擴(kuò)展卡爾曼濾波的估計(jì)值，圖3和圖4分別給出兩種濾波器對(duì)狀態(tài)分量估計(jì)的均方誤差。從圖1和圖2可以看出本文提出的魯棒擴(kuò)展卡爾曼濾波能較好的估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)，從圖3和圖4可以看出，相比于傳統(tǒng)的擴(kuò)展卡爾曼濾波，魯棒擴(kuò)展卡爾曼濾波方法具有更高的估計(jì)精度。

5 結(jié)束語(yǔ)

為了獲得更好的狀態(tài)估計(jì)結(jié)果，本文針對(duì)一類系統(tǒng)噪聲和測(cè)量噪聲相關(guān)的非線性系統(tǒng)，提出了一種改進(jìn)的魯棒擴(kuò)展卡爾曼濾波方法，與傳統(tǒng)算法相比，所提新方法保留了線性化時(shí)產(chǎn)生的誤差高階項(xiàng)，因而具有較好的魯棒性，仿真結(jié)果顯示了新方法的有效性。

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作者單位

1.深圳市廣寧股份有限公司 廣東省深圳市 518000

2.深圳大榆樹(shù)科技有限公司 廣東省深圳市 518000

3.上海電機(jī)學(xué)院電氣學(xué)院 上海市 201306