一階近似下引力場中圓軌道運動徑向微擾分析

王遠卓

摘 要討論圓軌道運動衛星受徑向微小擾動后的運動，從能量與受力出發，通過一階近似手段，從而得到徑向運動的周期特性與相關推論。

【關鍵詞】有效勢能 微小擾動 一階近似

圓軌道是人造衛星運動的理想狀態，但由于各種外界因素的影響，衛星在運動過程中無法避免地會受到擾動從而運動狀態受到影響。本文提出了在合理近似下衛星受到徑向微小擾動后運動的數學模型。

1 勻速圓周軌道的穩定性分析

1.1 有效勢能函數的建立

考慮一個質量為m的人造衛星環繞質量為M的中心天體作角動量為L的勻速圓周運動，這里引入離心勢能：

（1）

（2）引力勢能為

那么衛星運動的有效勢能為離心勢能與引力勢能之和，即：

（3）

其函數圖像如圖1所示。

1.2 軌道穩定性的具體分析

衛星作勻速圓周運動的軌道半徑R0滿足：

（4）

若衛星在受到徑向微小擾動后勢能升高，那么根據勢能最低原理，衛星將不會遠離而是在軌道的平衡位置附近運動，此時認為該衛星的軌道是穩定的。根據勢能判斷：

（5）

可知衛星繞中心天體的圓軌道是穩定的。

2 徑向振動一階近似下的周期分析

2.1 運動參量的確定

根據衛星剛好做圓周運動，得到：

（6）

即： （7）

其軌道如圖2所示。

如果衛星受到了徑向微小擾動，根據萬有引力的有心性，其運動過程中角動量守恒，那么有：

（8）

由此可以得到切向速度的表達式：

（9）

泰勒展開并保留至一階小量，得到更為簡潔的表達式：

（10）

2.2 徑向運動的力學討論

取隨衛星轉動的參考系，由于只考慮徑向運動，可不考慮與速度垂直的科里奧利力作用。這里引入慣性離心力：

（11）

并且有萬有引力：

（12）

那么衛星徑向受到的合力為：

（13）

受到擾動后，則上式表達為：

（14）

這里的整理取到一階近似。從以上表達式可以看出，衛星受到的是正比于徑向位移的線性回復力，可以判斷其做簡諧振動。從式中可以得到等效勁度系數為：

（15）

那么衛星徑向振動的周期應為：

（16）

3 對以上結果的討論

3.1 運動經歷半個周期時衛星位置的確定

取時刻：，此時經過了半個周期，衛星回到平衡位置，其軌道與圓軌道相交，由此可知在這段時間里衛星轉過的圓心角為：

（17）

恰好轉過半個圓周，這說明衛星運動的新軌道與原圓周軌道的交點位于受擾起始點與中心天體所在直線上。

3.2 運動經歷一個周期時衛星位置的確定

另外取時刻，此時經過了一個周期，衛星亦回到平衡位置，其軌道與圓軌道相交。由此可知在這段時間里衛星轉過的圓心角為：

（18）

恰好轉過一個圓周，這說明衛星運動的新軌道仍然經過受擾起始點。

4 結論

從以上的推導中可以看出，衛星繞中心天體運動的圓軌道是穩定的。在受到徑向微小擾動之后，衛星的運動可以近似地看做是圓周運動與徑向簡諧運動的合成。新軌道與圓軌道共有兩個交點，一個位于受到擾動處，另一個位于受到擾動處與中心天體所確定的直線上。文章為人造地球衛星在受擾之后的運動提供了一個具有現實意義的物理模型，對于衛星的軌道調整有借鑒作用。

參考文獻

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作者單位

西安高新第一中學 陜西省西安市 710075