一類分?jǐn)?shù)階微分方程m點(diǎn)邊值問題正解的存在性

蔣自國, 董 彪

(1. 阿壩師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 四川 汶川 623002; 2. 阿壩師范學(xué)院 數(shù)學(xué)研究所, 四川 汶川 623002)

分?jǐn)?shù)階微分方程在分?jǐn)?shù)物理學(xué)、混沌與湍流、粘彈性力學(xué)與非牛頓流體力學(xué)、高分子材料的解鏈、自動控制理論、化學(xué)物理、隨機(jī)過程、反常擴(kuò)散等自然科學(xué)和工程領(lǐng)域有著非常廣泛的應(yīng)用[1],已經(jīng)成為許多數(shù)學(xué)工作者的研究熱點(diǎn)并做出了許多重要的成果[2-17],其中,分?jǐn)?shù)階微分方程的邊值問題是其重要組成部分.

文獻(xiàn)[13]在Banach空間中研究了如下的分?jǐn)?shù)階微分方程

(1)

在文獻(xiàn)[8]中,考慮了分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題

(2)

文獻(xiàn)[10]考慮了分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題

(3)

文獻(xiàn)[5]中討論了一類分?jǐn)?shù)階微分方程的邊值問題

(4)

受文獻(xiàn)[5,8,10]的啟發(fā),在本文中,考慮如下分?jǐn)?shù)階微分方程的m點(diǎn)邊值問題

(5)

本文始終假設(shè)函數(shù)f:[0,1]×[0,∞)×R滿足如下Carathéodory條件：

1) 對于所有(x,y)∈[0,∞)×R,函數(shù)f(t,x,y)對于變量t在區(qū)間[0,1]上是Lebesgue可測的;

2) 對于幾乎每個(gè)t∈[0,1],函數(shù)f(t,x,y)對于(x,y)在區(qū)域[0,∞)×R是連續(xù)的.

注1當(dāng)h(t)≡1,m=3,邊值問題(5)是文獻(xiàn)[5]中的邊值問題(4).

1 預(yù)備知識和引理

首先給出一些關(guān)于分?jǐn)?shù)階計(jì)算的定義和引理.

定義1[12]函數(shù)y:[0,∞)→R的α>0階Riemann-Liouville積分定義為

定義2[12]函數(shù)y:[0,∞)→R的α>0階Riemann-Liouville微分定義為

其中n為不小于α的最小整數(shù),右邊是在(0,+∞)上逐點(diǎn)定義的.

引理1[3]設(shè)α>0,u∈C(0,1)∩L(0,1),則分?jǐn)?shù)階微分方程

有唯一解

u(t)=C1tα-1+C2tα-2+…+CNtα-N,
Ci∈R,i=1,2,…,N,

其中N是不小于α的最小整數(shù).

其中N是不小于α的最小整數(shù).

引理3設(shè)y(t)∈C[0,1],α≥2,β≥0,α-β≥1,n-1<α≤n,則m點(diǎn)邊值問題

(6)

有唯一解

(7)

其中

G(t,s)=

(8)

而G(t,s)是邊值問題(6)的Green函數(shù).

證明由引理2,可將微分方程(6)轉(zhuǎn)化為積分方程

則

由邊值條件u(0)=u′(0)=…=u(n-2)(0)=0可得C2=C3=…=Cn=0,于是

(9)

因此

于是得到

證畢.

引理4引理3中的p(s)在區(qū)間[0,1]上是不減的,且p(s)>0,t∈[0,1].

引理5邊值問題(6)的Green函數(shù)G(t,s)具有以下性質(zhì)：

1)G(t,s)在區(qū)域[0,1]×[0,1]上連續(xù);

2)G(t,s)>0,?t,s∈(0,1);

3)tα-1G(1,s)≤G(t,s)≤G(1,s),?t,s∈(0,1).

證明容易證明1)成立,因此,只需證明2)和3)成立.設(shè)

g1(t,s)=p(s)(1-s)α-β-1tα-1-
p(0)(t-s)α-1, 0≤s≤t≤1,

g2(t,s)=p(s)(1-s)α-β-1tα-1,
0≤t≤s≤1.

經(jīng)簡單計(jì)算有

其中

且

故h(t,s)對于變量t在區(qū)間[s,1]是不增的.另一方面

h(1,s)=p(s)(1-s)α-β-1-p(0)(1-s)α-1=
(1-s)α-1(p(s)(1-s)-β-p(0))>0,

因此,對于t∈[s,1],有g(shù)1(t,s)≥tα-1h(1,s)>0.顯然,對于s,t∈(0,1),有g(shù)2(t,s)>0.于是,對于所有s,t∈(0,1),有G(t,s)>0.因此2)成立.

進(jìn)一步有

故Green函數(shù)G(t,s)對于變量t在區(qū)間[0,1]上是不減的,于是

G(t,s)≤G(1,s).

同時(shí),對所有t∈[s,1)有

g1(t,s)≥tα-1h(1,s)=p(0)Γ(α)tα-1G(1,s),

對所有t∈(0,s)有

g2(t,s)=p(s)(1-s)α-β-1tα-1≥
p(0)Γ(α)tα-1G(1,s),

那么

G(t,s)≥tα-1G(1,s).

因此,對所有s,t∈(0,1)有

tα-1G(1,s)≤G(t,s)≤G(1,s).

證畢.

則X是Banach空間[4].在X中定義一個(gè)錐

P={u∈X:u(t)≥0,t∈[0,1]}.

在錐P中定義一個(gè)非負(fù)連續(xù)凹泛函

1) 若u∈P(θ,b,d),有{u∈P(θ,b,d):θ(u)>b}≠?且θ(Tu)>b;

2) 若u∈Pa,有‖Tu‖

3) 若u∈P(θ,b,c)且‖Tu‖>d,有θ(Tu)>b,則T至少有3個(gè)不動點(diǎn)u1、u2和u3,且

‖u1‖

2 主要結(jié)果及證明

為了方便,設(shè)

引理7假設(shè)函數(shù)f:[0,1]×[0,∞)×R→[0,∞)和h:[0,1]→[0,∞)連續(xù),則u∈X是邊值問題(5)的解當(dāng)且僅當(dāng)u∈X是如下積分方程的解

(10)

考慮如下定義的算子T:P→P,

(11)

由引理3的證明可知,對任意u∈P有

(12)

引理8由(11)式定義的算子T:P→P是全連續(xù)算子.

證明對于任意u∈P,由(11)式和引理5,可得Tu∈X且Tu(t)≥0,因此,T(P)?P.

1) 由函數(shù)f、h和G的連續(xù)性可知,算子T連續(xù).

2) 下面證明：算子T將錐P中的有界集映為有界集.事實(shí)上,對于任意r>0,對每一個(gè)u∈Ωr={u∈P:‖u‖≤r}，令

則由(8)式及引理5有

同時(shí),由(12)式知道

因此

3) 設(shè)Ω?P是有界集,t1,t2∈[0,1],t1

(13)

(14)

對任意ε>0,由于函數(shù)tα、tα-1、tα-β-1、tα-1、tα-β在區(qū)間[0,1]上一致連續(xù),因此,存在δ>0,對?t1,t2∈[0,1]:t1

故對任意u∈Ω,t2-t1<δ,由不等式(13)和(14)可得

即T(Ω)等度連續(xù).

由Arzel-Ascoli定理,算子T:P→P全連續(xù).證畢.

成立,如果

則邊值問題(5)存在唯一正解.

證明考慮由(11)式定義的算子T:P→P.將證明T是一個(gè)壓縮映像.事實(shí)上,由(12)式,對任意u,v∈P,有如下估計(jì)：

故‖Tu-Tv‖≤η‖u-v‖,其中

由壓縮映像原理,算子T有唯一的不動點(diǎn),即邊值問題(5)有唯一正解.證畢.

定理2若存在一個(gè)非負(fù)實(shí)函數(shù)φ(t)∈L[0,1]∩C[0,1],使得

|f(t,x,y)|≤φ(t)+c1|x|σ1+c2|y|σ2

成立,其中c1,c2∈R為非負(fù)常數(shù),0<σ1,σ2<1,則邊值問題(5)存在正解.

證明設(shè)M={u∈P:‖u‖≤R},其中

只需證明:T:M→M.

對任意u∈M有

故

因此,T:M→M.由引理8知T:M→M全連續(xù).根據(jù)Schauder不動點(diǎn)定理,算子T存在不動點(diǎn)u∈M?P,即邊值問題(5)存在正解.證畢.

定理3若存在常數(shù)0

(H1)f(t,x,y)

(H2)f(t,x,y)≤M1c,(t,x,y)∈[0,1]×[0,c]×[-c,c];

(H3)f(t,x,y)≥N1b,(t,x,y)∈[ζ,1]×[b,c]×[-c,-b]∪[b,c],

則邊值問題(5)至少有3個(gè)正解u1、u2和u3,其中

‖u1‖

那么

其次,由條件(H1),根據(jù)類似的討論可得,若u∈Pa,則‖Tu‖

因此{(lán)u∈P(θ,b,c):θ(u)>b}≠?.

最后,若u∈P(θ,b,c),則b≤u(t)≤c且

由條件(H3)及引理5可得

即對任意u∈P(θ,b,c),有θ(Tu)>b.

由引理6,邊值問題5至少有3個(gè)正解:u1、u2和u3,且

‖u1‖

證畢.

3 例子

例1考慮如下的邊值問題

(15)

設(shè)h(t)=t+2,t∈[0,1],則M=3,

取

易證

其中

于是,定理1的所有條件滿足.根據(jù)定理1,邊值問題(15)有唯一正解.

例2考慮邊值問題

(16)

令

h(t)=t+1,t∈[0.1],

容易驗(yàn)證

|f(t,x,y)|≤φ(t)+c1|x|σ1+c2|y|σ2,
0<σ1,σ2<1,

例3考慮邊值問題

(17)

和

f(t,x,y)≤0.1125(t,x,y)∈[0,1]×[0,a]×[-a,a];
f(t,x,y)≤57.1≤M1c=65.464 2,
(t,x,y)∈[0,1]×[0,c]×[-c,c];
f(t,x,y)≥24.227 5≥N1b=23.848 8,
(t,x,y)∈[ζ,1]×[b,c]×[-c,-b]∪[b,c].

于是,定理3的所有條件滿足,根據(jù)定理3,邊值問題(17)至少有3個(gè)正解:u1、u2和u3,且

致謝阿壩師范學(xué)院重點(diǎn)科研課題(ASA15-09)對本文給予了資助,謹(jǐn)致謝意.

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