一類積分號(hào)外具有非常數(shù)因子的弱奇異時(shí)滯積分不等式

覃煒達(dá), 王五生

(河池學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 廣西 宜州 546300)

Gronwall[1]和Bellman[2]為了證實(shí)微分方程解對(duì)參數(shù)的連續(xù)依賴性研究了積分不等式

其中c≥0是常數(shù),得到了未知函數(shù)的估計(jì)

(1)

由于Gronwall-Bellman型積分不等式是研究微分方程、積分方程解的存在性、有界性、穩(wěn)定性和唯一性等定性性質(zhì)的重要工具,人們不斷地對(duì)它的形式進(jìn)行了各種推廣,使它的應(yīng)用范圍不斷地?cái)U(kuò)大.文獻(xiàn)[3-6]及其引文研究了具有連續(xù)積分核的積分不等式;文獻(xiàn)[7-14]及其引文研究了具有奇異積分核的積分不等式.為了證實(shí)拋物型柯西問題解的全局存在和指數(shù)衰減結(jié)果,Henry[7]研究了線性奇異積分不等式

Ye等[8]討論了積分號(hào)外具有非常數(shù)因子的線性奇異積分不等式

利用復(fù)雜的冪級(jí)數(shù)給出了未知函數(shù)的估計(jì).為了用顯式界表示不等式中未知函數(shù)的估計(jì),Medved[9]給出了另一種類似于經(jīng)典Gronwall-Bellman不等式中未知函數(shù)估計(jì)的方法.最近,Ma等[11]用改進(jìn)的Medved方法研究了弱奇異積分不等式

f(s)uq(s)ds,t∈[0,+∞).

(2)

受文獻(xiàn)[9,11]的啟發(fā),本文研究了積分號(hào)外具有非常數(shù)因子的非線性奇異時(shí)滯積分不等式

f(s)uq(s)ds,t∈[t0,+∞).

(3)

不等式(3)把文獻(xiàn)[11]中的不等式(2)推廣為時(shí)滯不等式.為了研究這個(gè)時(shí)滯弱奇異不等式(3),首先證明了具有時(shí)滯的H?lder積分不等式,然后給出了一類冪形式積分不等式中未知函數(shù)的估計(jì),接著得到了時(shí)滯弱奇異不等式(3)中未知函數(shù)的估計(jì).最后舉例說明了本文結(jié)果可以用來研究分?jǐn)?shù)階積分方程解的性質(zhì).

1 主要結(jié)果與證明

成立.假設(shè)函數(shù)α(t)是區(qū)間[t0,+∞)上的連續(xù)、可微、單增函數(shù),且有α(t)≤t,α(t0)=t0,則

(5)

證明不等式(4)是經(jīng)典的H?lder不等式，不需要證明.利用經(jīng)典的H?lder不等式(4)可以推出

(6)

故H?lder不等式中積分上限是滿足引理?xiàng)l件的函數(shù)時(shí)也成立.

引理2[10-11]令a≥0,p≥q≥0和p≠0,則對(duì)任意K>0有

(7)

引理3[11]令β、γ、ξ和p都是正常數(shù),則

t∈[0,+∞).

(8)

假設(shè)函數(shù)α(t)是區(qū)間[t0,+∞)上的連續(xù)、可微、單增函數(shù),且有α(t)≤t,α(t0)=t0,則

t∈[0,+∞),

(9)

引理4[11]假設(shè)正常數(shù)β、γ、ξ、p1、p2滿足下列條件之一:

1)β∈(0,1],γ∈(1/2,1),ξ≥3/2-γ,p1=1/γ;

2)β∈(0,1],γ∈(0,1/2],ξ>(1-2γ2)/(1-γ2),p2=(1+4γ)/(1+3γ),

則對(duì)i=1,2都有

θi=pi[β(γ-1)+ξ-1]+1≥0.

(10)

引理5[11,14]假設(shè)函數(shù)u(t)、η(t)、θ(t)、h(t)都是區(qū)間[0,+∞)上的非負(fù)連續(xù)函數(shù),q≥1,則不等式

t∈[0,+∞)

(11)

中的未知函數(shù)有估計(jì)式

t∈[0,+∞),

(12)

其中

(13)

引理6假設(shè)函數(shù)u(t)、η(t)、θ(t)、h(t)都是區(qū)間[t0,+∞)上的非負(fù)連續(xù)函數(shù),q≥1,t0≥0,函數(shù)α(t)是區(qū)間[t0,+∞)上的連續(xù)、可微、單增函數(shù),且有α(t)≤t,α(t0)=t0,則不等式

t∈[t0,+∞)

(14)

中的未知函數(shù)有估計(jì)式

t∈[t0,+∞),

(15)

其中

(16)

證明為了證明方便,先定義區(qū)間[t0,∞)上的函數(shù)

(17)

顯然有v(t0)=0.求函數(shù)v(t)的導(dǎo)數(shù),利用(14)和(16)式得

v′(t)=α′(t)h(α(t))uq(α(t))e(α(t))+

α′(t)h(α(t))uq(α(t))e(α(t))-

α′(t)h(α(t))θq(α(t))e(α(t))×

α′(t)h(α(t))uq(α(t))e(α(t))-

α′(t)h(α(t))θq(α(t))v(t)≤

[(α′(t)h(α(t)))1/qη(α(t))e1/q(α(t))+

(α′(t)h(α(t)))1/qθ(α(t))×

α′(t)h(α(t))θq(α(t))v(t)≤

[(α′(t)h(α(t)))1/qη(α(t))e1/q(α(t))+

(α′(t)h(α(t)))1/qθ(α(t))×

α′(t)h(α(t))θq(α(t))v(t)≤

[(α′(t)h(α(t)))1/qη(α(t))e1/q(α(t))+

(α′(t)h(α(t)))1/qθ(α(t))v1/q(t)]q-

α′(t)h(α(t))θq(α(t))v(t).

(18)

不等式(18)兩邊積分,由v(t0)=0得

η(α(s))e1/q(α(s))+

(α′(s)h(α(s)))1/qθ(α(s))v1/q(s))qds-

(19)

另一方面,根據(jù)Minkovsky不等式得

(α′(s)h(α(s)))1/qθ(α(s))v1/q(s))qds)1/q≤

(20)

由(19)和(20)式推出

(21)

根據(jù)v(t)和e(t)的定義,可得

(22)

(23)

由(23)式可得

(24)

把不等式(24)代入(14)式得到所要的估計(jì)式(15).

定理1假設(shè)函數(shù)u(t)、a(t)、b(t)、f(t)是區(qū)間[t0,+∞)上的非負(fù)連續(xù)函數(shù),α(t)是區(qū)間[t0,+∞)上的連續(xù)、可微、單增函數(shù),且有α(t)≤t,α(t0)=t0,p、q、β、γ、ξ都是正常數(shù)且有p≥q.如果未知函數(shù)u(t)滿足不等式(3).

1) 假設(shè)β∈(0,1],γ∈(1/2,1),ξ≥3/2-γ;則對(duì)任意K>0,有未知函數(shù)的估計(jì)

(25)

其中

2) 假設(shè)β∈(0,1],γ∈(0,1/2],ξ>(1-2γ2)/(1-γ2),則對(duì)任意K>0有未知函數(shù)的估計(jì)

(26)

其中

注1不等式(3)、(25)和(26)中,令α(t)=t,t0=0,則得到文獻(xiàn)[11]的結(jié)果.

證明把不等式(3)中的積分部分定義成函數(shù)w(t),即

f(s)uq(s)ds,t∈[t0,+∞),

(27)

則有

up(t)≤a(t)+w(t),

即

u(t)≤(a(t)+w(t))1/p,t∈[t0,+∞).(28)

利用引理2,對(duì)任意K>0由(28)式得到

uq(t)≤(a(t)+w(t))q/p≤

t∈[t0,+∞).

(29)

把(29)式代入(27)式得到

sξ-1f(s)w(s)ds,

(30)

其中

若β∈(0,1],γ∈(1/2,1),ξ≥3/2-γ,令p1=1/γ,q1=1/(1-γ);若β∈(0,1],γ∈(0,1/2],ξ>(1-2γ2)/(1-γ2),令p2=(1+4γ)/(1+3γ),q2=(1+4γ)/γ,則1/pi+1/qi=1對(duì)i=1,2都成立.利用引理1中的H?lder不等式,由(30)式推出

w(t)≤b(t)×

(31)

利用引理3和4,對(duì)任意t∈[t0,+∞),不等式(31)可以改寫成

(32)

其中

(33)

θi(i=1,2)的定義在引理3中給出.利用引理6,對(duì)任意t∈[t0,+∞),由(32)式可得

[1-[1-Vi(t)]1/qi]-1×

(34)

其中

(35)

把p1=1/γ,q1=1/(1-γ)和p2=(1+4γ)/(1+3γ),q2=(1+4γ)/γ分別代入(34)和(35)式,再考慮關(guān)系式(28),得到所要證明的估計(jì)式(25)和(26).

2 應(yīng)用

考慮下面的Volterra型分?jǐn)?shù)階積分方程

sβ(1+δ)-1yq(s)ds=f(t).

(36)

Ma等[11]研究了該方程在α(t)=t的情況.此類方程常常出現(xiàn)在各種實(shí)際問題中,特別是用來描述物理過程的后效性.

定理2假設(shè)函數(shù)y(t)和f(t)是區(qū)間[0,+∞)上的連續(xù)函數(shù);α(t)是區(qū)間[t0,+∞)上的連續(xù)、可微、單增函數(shù),且有α(t)≤t,α(t0)=t0;p、q、β、γ、δ是正常數(shù),且p≥q.如果y(t)是方程(36)的解.

(i) 如果β∈(0,1],γ∈(1/2,1),β(1+δ)≥3/2-γ,則對(duì)任意K>0,有未知函數(shù)的估計(jì)

|y(t)|≤{|f(t)|+

(37)

其中

(ii) 如果β∈(0,1],γ∈(0,1/2),β(1+δ)>(1-2γ2)/(1-γ2),則對(duì)任意K>0,有未知函數(shù)的估計(jì)

|y(t)|≤{|f(t)|+

(38)

其中

證明由(36)式可以推出

令a(t)=|f(t)|,b(t)=|λ|t-βδ/Γ(γ),ξ=β(1+δ),利用定理1和Bernoulli不等式,

(1-x)1/z<1-x/z,

或

[1-(1-x)1/z]-10,z>0,

由(39)式得到所要證明的分?jǐn)?shù)階積分方程解的估計(jì)式(37)和(38).

致謝河池學(xué)院2016年碩士專業(yè)學(xué)位授予單位立項(xiàng)建設(shè)基金(2016YT003)對(duì)本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.

[1]GRONWALLTH.Noteonthederivativeswithrespecttoaparameterofthesolutionsofasystemofdifferentialequations[J].AnnMath,1919,20(4):292-296.

[2]BELLMANR.Thestabilityofsolutionsoflineardifferentialequations[J].DukeMathJ,1943,10(4):643-647.

[3]AGARWALRP,DENGS,ZHANGW.GeneralizationofaretardedGronwall-likeinequalityanditsapplications[J].ApplMathComput,2005,165(3):599-612.

[4] 王五生,李自尊. 一類新的非線性時(shí)滯積分不等式及其應(yīng)用[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2012,35(2):180-183.

[5] 侯宗毅,王五生. 非線性三變量差分不等式及其應(yīng)用[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2015,38(4):514-517.

[6]ABDELDAIMA.Nonlinearretardedintegralinequalitiesoftypeandapplications[J].JMathInequal,2016,10(1):285-299.

[7]HENRYD.Geometrictheoryofsemilinearparabolicequations[C]//LectureNotesinMath, 840.NewYork:Springer-Verlag,1981.

[8]YEHP,GAOJM,DINGYS.AgeneralizedGronwallinequalityanditsapplicationtoafractionaldifferentialequation[J].JMathAnalAppl,2007,328(2):1075-1081.

[9]MEDVEDM.AnewapproachtoananalysisofHenrytypeintegralinequalitiesandtheirBiharitypeversions[J].JMathAnalAppl,1997,214(2):349-366.

[10]JIANGFC,MENGFW.Explicitboundsonsomenewnonlinearintegralinequalitieswithdelay[J].JComputApplMath,2007,205(1):479-486.

[11]MAQH,PECARICJ.Somenewexplicitboundsforweaklysingularintegralinequalitieswithapplicationstofractionaldifferentialandintegralequations[J].JMathAnalAppl,2008,341(2):894-905.

[12] 歐陽云,王五生. 一類含有p次冪的非線性奇異Volterra-Fredholm型迭代積分不等式及其應(yīng)用[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2016,39(2):209-213.

[13] 黃春妙,王五生. 一類含有求最大運(yùn)算的非線性時(shí)滯Volterra-Fredholm型積分不等式[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2016,39(3):382-387.

[14]WILLETTD.Nonlinearvectorintegralequationsascontractionmappings[J].ArchRationMechAnal,1964,15(1):79-86.