一類地下水污染物運移問題的有限體積元方法

駱小芳, 朱泉涌, 林銀河*

(1. 南京師范大學 數學科學學院, 江蘇 南京 210023; 2. 麗水學院 數學系, 浙江 麗水 323000)

地下水作為水資源的重要組成部分,就水體污染而言,地下水的污染與地表水的污染相比更具有隱蔽性和難以逆轉性.地下水一旦受污染,便很難治理及恢復.由于地下水污染流體動力系統的復雜性,傳統的實驗研究方法花費大、周期長、靈活性差且難以重復實驗.因此,研究建立在數學物理方法基礎上的地下水污染數值方法具有重要的理論和應用價值[1-8].本文研究地下水污染模型問題[9-13]

(1)

的有限體積元解,其中,R為阻滯因子,s表示地下水污染物的濃度,k表示地下水實際流動速度,d表示擴散系數,λ表示衰減系數,s0(x)為已知的光滑函數,D=[0,L].方程(1)在地下水污染物運移問題中具有深刻的物理背景,并且有著廣泛的應用[14-17].

為方便討論，R取為1，假設問題(1)的解存在唯一且有必要的光滑性,并滿足下列條件:

|k(x,q1)-k(x,q2)|≤K1|q1-q2|;

(IV) ?x∈D,有0

下文中用K和ε分別表示一般的正常數和充分小的正常數,它們在不同的地方可以表示不同的值.此外,記

1 有限體積元離散方法

選取試探函數空間Ch為相應于剖分Th的拉格朗日型二次有限元空間,則整節點xi與半整節點xi-1/2的基函數分別為

而任意sh∈Ch可唯一表示為

φi(x)+si-1/2φi-1/2(x)],

其中si=sh(xi,t),si-1/2=sh(xi-1/2,t).

則任一wh∈Wh可表示為

其中,wj=wh(xj),wj-1/2=wh(xj-1/2).

?s∈Ch.

對?sh∈Ch,引入下面的離散范數

|sh|1,h=

引理1[9]對任意的sh∈Ch,|sh|0,h、|sh|1,h分別與|sh|0、|sh|1等價,即存在與h無關的正常數c1、c2、c3、c4,使得

c1|sh|0,h≤|sh|0≤c2|sh|0,h,

c3|sh|1,h≤|sh|1≤c4|sh|1,h.

引理2[9]下列結論成立:

引理3[9]存在正常數h0、α和M,使得當0

c5‖sh‖1≤|||sh|||1≤c6‖sh‖1,

?sh∈Ch.

引入記號

sh=si-1(2ξ-1)(ξ-1)+

4si-1/2ξ(1-ξ)+siξ(2ξ-1),

(3)

(4)

即

2 誤差估計

記ξ=sh-Πhs,η=s-Πhs,則sh-s=ξ-η.由(2)和(4)式得誤差方程

(6)

由引理3得

下面對(6)式右端各項分別進行估計,運用ε不等式,容易得到

但

故

由

而

故

則

由

M(△t)2,

則

由

故

以上各式聯立，可得

(7)

綜上所述可得如下定理.

定理1假設s是問題(1)的解,sh為全離散有限體積二次元格式(4)的解,當h與△t充分小時,有以下的誤差估計成立

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