條件NA序列乘積部分和序列的Doob型不等式

馮德成, 周 霖, 張 瀟

(西北師范大學 數學與統計學院, 甘肅 蘭州 730070)

1 預備知識

本文中提到的隨機變量序列均是定義在概率空間(Ω,A,P)上的,EFX表示隨機變量X的條件數學期望,即EFX=E[X|F].這里的F是A的一個子σ-代數.I(A)表示集合A的示性函數.

設X和Y是定義在概率空間(Ω,A,P)上的隨機變量,且EX2<∞,EY2<∞,F是A的子σ-代數,X和Y的條件協方差(F-協方差)定義為

CovF(X,Y)=EF((X-EFX)(Y-EFY)).

定義1[1] 稱隨機變量序列{Xi,1≤i≤n}是NA的,如果對分別定義在R|A|和R|B|上任意2個使下述協方差存在且分量不減的函數f和g有

Cov(f(Xi,i∈A),g(Xj,j∈B))≤0,

其中,集合A和B是數集{1,2,…,n}的一個劃分,|A|和|B|分別表示集合A和B中元素的個數.

隨機變量序列{Xn,n≥1}稱作NA的,如果它的任意有限子序列都是NA的.

Roussas[2]提出了條件負相協的概念.

定義2稱隨機變量序列{Xi,1≤i≤n}是(給定F下)條件負相協的(簡稱條件NA列),如果對分別定義在R|A|和R|B|上任意2個使下述條件協方差存在且分量不減的函數f和g有

CovF(f(Xi,i∈A),g(Xj,j∈B))≤0,a.s.,

其中,集合A和B是數集{1,2,…,n}的一個劃分,|A|表示集合A中元素的個數.

隨機變量序列{Xn,n≥1}稱作條件NA的,如果它的任意有限子序列都是條件NA的.

定義3[3] 設{Sn,n≥1}是L1上的一列隨機變量,如果對任意1≤i

E[(Sj-Si)f(S1,…,Si)]≤0,a.s.,

其中,f是任意分量不減的函數且使上述條件期望有意義,那么稱{Sn,n≥1}是N-弱鞅.如果進一步假定f是非負函數,則稱{Sn,n≥1}是N-弱上鞅.

定義4設{Sn,n≥1}是L1上的一列隨機變量,如果對任意1≤i

EF[(Sj-Si)f(S1,…,Si)]≤0,a.s.,

其中,f是任意分量不減的函數且使上述條件期望有意義,那么稱{Sn,n≥1}是(給定F下)條件N-弱鞅.如果進一步假定f是非負函數,則稱{Sn,n≥1}是條件N-弱上鞅.

對任意一個隨機變量X,若滿足E|X|<∞,則由條件期望的性質有E(E(X|F))=E(X).所以,定義在概率空間(Ω,A,P)上的條件N-弱(上)鞅一定是概率空間(Ω,A,P)上的N-弱(上)鞅,反之未必.

自N-弱鞅和條件N-弱鞅的定義提出以后,許多學者對其做了相關研究.Prakasa[5]得到了N-弱鞅的Chow型不等式;Prakasa[6]又建立了弱下鞅和N-弱上鞅的一些最大值不等式;Christofides等[7]得到了N-弱鞅的Azuma不等式;Hadjikyriakou[8]證明了非負N-弱鞅的Marcinkiewicz-Zygmund型不等式,并討論了非負N-弱鞅的完全收斂性;Wang等[9]得到了N-弱鞅的Doob型極大值不等式,并證明了在p>1時N-弱鞅的強大數定理;Yang等[10]也得到了N-弱鞅的最大值不等式;Christofides等[11]給出了條件弱鞅的最大值不等式和矩不等式,以及條件N-弱鞅的Chow型不等式和Azuma型不等式;此后Wang等[12]得到了條件N-弱鞅的Chow型不等式,以及條件弱鞅和條件N-弱鞅的一些最大值不等式;Wang等[13]得到了基于cY函數的條件弱鞅和條件N-弱鞅的最大值不等式;文獻[14]將已有的基于cY函數的弱鞅和N-弱鞅的一些最大值不等式推廣到了條件弱鞅和條件N-弱鞅的情形等.

文獻[15]給出了NA序列與獨立非負隨機變量序列乘積部分和序列的極大值不等式,受此文影響,本文得到了條件NA序列與非負F-可測隨機變量序列乘積部分和序列的Doob型不等式.

2 主要結論及其證明

引理1[11] 設{Sn,n≥1}是條件N-弱鞅,則對任意的F-可測隨機變量ε>0 a.s.有

引理2[11] 設{Sn,n≥1}是條件N-弱鞅,則對任意的F-可測隨機變量ε>0 a.s.有

引理3[11] 設X是一個非負的隨機變量且r>0,則

證明設f是非負的且分量不減的函數,則

EF[(Tn+1-Tn)f(T1,…,Tn)]=

EF[Xn+1Yn+1f(T1,…,Tn)]=

EF(Yn+1)EF[Xn+1f(T1,…,Tn)]=

EF(Yn+1)[CovF(Xn+1,f(T1,…,Tn))+

EF(Xn+1)EF(f(T1,…,Tn))].

由于EF(Yn+1)≥0 a.s.,EF(Xn+1)≤0 a.s.,且f是非負的,有

EF[(Tn+1-Tn)f(T1,…,Tn)]≤0, a.s.,

所以Tn是條件N-弱上鞅.

設f是分量不減的函數,若對于任意的k,有EF(Xk)=0 a.s.,則

EF[(Tn+1-Tn)f(T1,…,Tn)]=

EF[Xn+1Yn+1f(T1,…,Tn)]=

EF(Yn+1)EF[Xn+1f(T1,…,Tn)]=

EF(Yn+1){EF[Xn+1f(T1,…,Tn)]-

EF(Xn+1)EF(f(T1,…,Tn))}=

EF(Yn+1)CovF(Xn+1,f(T1,…,Tn))≤0,a.s.,

即得Tn是條件N-弱鞅.

作為引理1和引理2的應用,下面是條件NA序列乘積部分和序列的Doob型不等式.

(1)

(2)

證明由定理1得Tn是非負條件N-弱鞅,再由引理1、引理3和條件H?lder不等式得

由上式易得(1)式.

再由推論1,并且類似于(1)式的證明得

對于a≥0,b≥0,滿足alog+b≤alog+a +be-1,因此有

(3)

將(3)式移項整理即得(2)式,即證.

證明在定理2中,若對于任意的n≥1,令Yn=1a.s.,則Yn關于F-可測,即證.

證明由引理2和引理3得

證畢.

在定理3中,若對于任意的n≥1,令Yn=1a.s.,則有下面的推論.

致謝西北師范大學青年教師科研能力提升計劃項目(NWNU-LKQN-11-2)對本文給予了資助,謹致謝意.

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