Smarandache函數的一些推廣

白海榮, 廖群英

(四川師范大學 數學與軟件科學學院, 四川 成都 610066)

1 引言及主要結果

早在1993年,Smarandache定義了正整數n的Smarandache函數

S(n)=min{m:m∈N,n|m!}.

為了方便,本文記

以及

(1)

定理1.11) 對任意正整數α,設

以及γ=max{δ∈T:δ<α},則

2) 對任意正整數α,若γ<α≤β,則

對于任意正整數α,由α的p進制表達式可計算出β=min{δ:α≤δ∈T},再根據定理1.1即可得到S(pα),即如下定理.

定理1.2設正整數α的p進制表達式中最高次項為bpr,且

則:

1)

由定理1.2,根據α的p進制表達式中最高次項可計算出β=min{δ:α≤δ∈T}的首項.又因為β的次高項即為β1的最高項.又由定理1.2可知,根據α1的p進制表達式中的最高次項可計算出β1的首項.注意到β的T表達式的項數有限,因此至多進行kn步后即得β在T中的表達式,進而計算出S(pα).另外當α=β時,α∈T;否則,即α<β時,有α?T.

另一方面,文獻[1]有如下命題.

命題1.3[1]對任意素數p以及正整數α,均有

(p-1)α+1≤S(pα)≤
(p-1)[α+logpα+1]+1.

根據定理1.1與1.2,可以改進上述上界,即得到最優上界,并給出此界達到的充分必要條件,即如下推論.

推論1.4對任意素數p以及正整數α,均有

(p-1)α+1≤S(pα)≤
(p-1)[α+logpα+1].

進而

S(pα)=(p-1)[α+logpα+1]?α=pn-n.

2 一些引理

為證明本文的主要結果,需要如下幾個引理.

引理2.1映射f:pN→T,

為嚴格單調遞增的雙射,其中1≤k1<…

證明顯然f為滿射,只需證明f嚴格單調遞增.事實上,設

因為p在α!中的指數為

又p在((m+1)p)!中的指數比在(mp)!中指數至少多1,故f嚴格單調遞增.

這就完成了引理2.1的證明.

證明由題設知

這就完成了引理2.2的證明.

的p進制表達式首項為cpt(0≤t,1≤c≤p-1),則類似可得(kn-1,an-1).依次可計算出(kr,ar)(r=1,…,n-2),即得到β在T中的具體表達式.再根據定理1.2即可計算出S(pα).

矛盾.

注意到1≤an≤p-1.故若an≤p-2,則

此與β≥pr的假設矛盾,故an=p-1.

與假設條件矛盾.

若an≥b+1,則

(b+1)pr>β,

矛盾.

若an≤b-2,則

矛盾.

與假設矛盾.

(IV) 若2≤b≤p-1且

則必有an=b.否則,由an=b-1可得

與假設矛盾.

這就完成了引理2.3的證明.

3 主要結果的證明

故根據S(n)的定義可知

當γ<α<β時,由S(n)的定義可知S(pα)關于α是不減函數,從而S(pγ)≤S(pα)≤S(pβ).又γ=max{δ∈T:δ<β},根據情況1)及函數f嚴格單調遞增雙射的性質,可知S(pβ)-S(pγ)=p.又因為p|S(pα),所以對任意y∈{x∈Z+:S(pγ)

這就完成了定理1.1的證明.

再由引理2.3可得

即總有tr

又因

這就完成了定理1.2的證明.

推論1.4的證明(I) 先證明一些簡單性質.

(B) 根據定理1.1情況2)可得

(C) 注意到n≤kn≤[logpα+1].當n>1,ai=p-1且ki=ki-1+1(i=2,3,…,n)時,有

此時由定理1.2情況1)可知[logpα]=r=kn,即有n≤kn=r<[logpα+1].當n>1,ai=p-1,且存在i使得ki>ki-1+1(2≤i≤n)時,顯然有n≤kn-1≤r<[logpα+1],即當n>1,ai=p-1時,總有n<[logpα+1].

(III) 現在討論上界.若α=β∈T,根據(I)的(B)和(C),有

S(pα)=(p-1)pt=(p-1)α+p-1≤
(p-1)α+(p-1)×[logpα+1],

且若等號成立,則[logpα+1]=1,即t=1且α=p-1.否則,即γ<α<β時,α?T.此時由(I)的(A)知

故若等號成立,則ai=p-1且ki=ki-1+1(i=2,3,…,n).

當n>1時,有

所以根據(I)中(C)易知

故若等號成立,則必有n=1,此時

不妨設α=pt-k,2≤k≤t,則S(pα)=S(pβ)=(p-1)pt且

S(pα)≤(p-1)×[α+logpα+1]=
(p-1)[pt-k+t-1+1],

要取到等號必須k=t,即α=pt-t.

這就完成了推論1.4的證明.

4 推廣

定義4.1設數論函數f(n)是單調不減函數,則稱

Sf(n)=min{m:m∈N,n|f(m!)},
Sf(n)=min{m:m∈N,n|f(m)!},
S′(n)=min{m:m∈N,n|(2m)!!}

分別為n的I、II、III型廣義Smarandache函數.

定理4.21) 設r為正整數,f(x)=xr,則對于任意正整數α,當q×r<α≤(q+1)×r時,有Sf(pα)=S(pq+1).

2) 設r為正整數,f(x)=rx,對于任意正整數α,若pu‖r時,則Sf(pα)=S(pα-u).

3) 對任意正整數α,則Sf(pα)=min{m:S(pα)≤f(m)}.

4) 對任意奇素數p,都有S′(pα)=S(pα).進而,當p=2時,設β=min{δ:α≤δ∈T′},γ=max{δ:α>δ∈T′},其中T′={β:2β‖S′(2β)!},則

許多推廣形式的廣義Smarandache函數的計算均可歸結為相應正整數的Smarandache函數的計算.也可以用構造T′的方法得到計算公式,特別地,如果由T′={α|pα‖Sf(pα)!},T′={α|pα‖Sf(pα)!}或者T′={α|pα‖S′(pα)!},構造的T是一樣的,則其計算公式也是一致的.

定理4.2的證明1)～3) 由定義顯然.

4) 當p為奇素數時,結論顯然.現設p=2,若β=min{δ:α≤δ∈∈T′},其中T′={β:2β‖S′(2β)!},則容易證明映射f:N→T′,

本文實際在建立pZ+到T的雙射f,然后求得其逆映射,即Smarandache函數在T上的限制S|T,并進一步得到Smarandache函數S.由本文定理可得S(pα)關于α是非減的滿射而非單射,映射S(pα)|T為嚴格單調遞增的雙射且與f互為反函數.

5 應用

例5.1計算S(5α),其中α=3 592.

一方面,α=3 592的5進制表達式最高次項為55,令

例5.2計算S(5α),其中α=3 589.

一方面α=3 589的5進制表達式最高次項為55,令

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