射線截曲率有負下界且大體積增長的開流形

陳歡歡， 薛 瓊， 陳愛云， 李 奧

(武漢理工大學 理學院， 湖北 武漢 430070)

1 主要結果

設M是n維完備非緊黎曼流形,滿足

RicM≥-(n-1)c(c>0).

Bishop-Gromov體積比較定理[1]說明

r→(vol[B(p,r)])/(αn(r,-c))

是非增函數,其中B(p,r)為M上以點p為中心r為半徑的開球,αn(r,-c)表示常曲率-c的空間形式Mn(-c)中半徑為r的測地球體積,其中

(1)

這里

(2)

ωn是Sn(1)的體積.

對任意p∈M,令

(3)

定義

總有

當v-c(M)>0時,稱M具有大體積增長.關于體積增長，文獻[2-14]在此領域取得了一系列有意義的成果.

一個流形M稱為具有有限拓撲型,若存在一緊致區域Ω,使得?Ω是一拓撲流形，且MΩ同胚于?Ω×[0,+).文獻[2]證明了滿足截曲率的黎曼流形M微分同胚于Rn.文獻[3]證明了黎曼流形M滿足共軛半徑conjM≥c，v-1(M)>0具有有限拓撲型.文獻[4]證明了滿足射線截面曲率的黎曼流形M微分同胚于Rn.文獻[5]證明了黎曼流形M滿足射線截面曲率具有有限拓撲型.

(4)

(5)

則M具有有限拓撲型.

2 預備知識及引理

設M是一個完備非緊的n維黎曼流形,首先引進射線截面曲率的定義.

接下來介紹射線密度函數及幾種距離函數.

定義2設M是一個完備非緊的n維黎曼流形,p∈M,令R(p,r)為所有從p點出發的射線集合,顯然R(p,r)是測地球S(p,r)上的閉子集.對任意x∈S(p,r),r≥0,定義

Rp(x)=d(x,R(p,r)).

(6)

對于r>0,

(7)

是射線密度函數.

定義3[7]給定p∈M，定義從p點出發的一條射線γ相關的Busemann函數為

(8)

注1記

(9)

再結合Rp(x)的定義,有

d(p,x)-Rp(x)≤Bp(x)≤d(p,x).

(10)

定義4給定p∈M，定義在p點的Excess函數為

ep(x)=d(p,x)-bp(x),x∈M,

(11)

記

,

(12)

其中

為p點處的廣義Busemann函數.

注2由定義4與(10)式有:

Bp(x)≤bp(x),x∈M;
ep(x)≤Rp(x),x∈M.

(13)

3 主要結果的證明

為了證明定理，還需要以下引理.

(14)

證明任取數列tn→+使得

收斂到bp(x),存在xn∈S(p,tn),使得

d(q,xn)=d(q,S(p,tn)).

取γ是p到xn的極小測地線,σ是q到xn的極小測地線.由于q是p的臨界點,存在一條從q到p的極小測地線τ,使得

應用引理1,即射線截面曲率Toponogov型比較定理,對于三角形{γ,σ,τ},有

因此引理2得證.

類似于文獻[2]中引理2.5的證明,易驗證下述引理.

引理3設M是一個完備非緊的n維黎曼流形,滿足

RicM≥-(n-1)c(c>0)，v-c(M)>0,

則對任意p∈M,?r>0,有

(15)

其中ωn表示Rn空間中單位球的體積.

綜合上述定義及引理,下面給出定理證明.

定理1的證明任取點x(≠p)∈M,并令r=d(p,x).由(15)式再結合條件(4)有

因此

再由H(p,r)的定義,結合(13)式有

又由引理2知若x是p的臨界點，有

因此x不是p的臨界點,即定理得證.

定理2的證明由合痕引理[15]，任意x∈M，如果d(p,x)足夠大,則x不是p的臨界點.由條件(5)知，存在足夠小的ε和足夠大的r1使得

(16)

由于

因此有足夠大的r2使得

(17)

令r0=max(r1,r2),當?r≥r0,由(16)和(17)式有

(18)

再類似于定理1的證明,得到MB(p,r0)不含p的臨界點,因此定理得證.

[1] BISHOP R L, CRITTENDEN R J. Geometry of Manifolds[M]. New York:Academic Press,1964:84-96.

[2] XIA C. Complete manifolds with sectional curvature bounded below and large volume growth[J]. Bull London Math Soc,2002,34(2):229-235.

[3] WANG Q. Finite topological type and volume growth[J]. Ann Glob Anal Geom,2004,25(1):1-9.

[4] LI G, SHI Y. Ricci curvature,radial curvature and large volume growth[J]. Geom Dedicata,2011,150(1):63-74.

[5] XIA C. Open manifolds with nonnegative Ricci curvature and large volume growth[J]. Comment Math Helv,1999,74(1):456-466.

[6] MACHIGASHIRA Y. Complete open manifolds of nonnegative radial curvature[J]. Pacific J Math,1994,165(1):153-160.

[7] SHEN Z. On complete manifolds nonnegative kth-Ricci curvature[J]. Math Soc,1993,383(1):289-310.

[8] SHI Y, LI G, Wu C. Closed geodesics and volume growth of open manifolds with sectional curvature bounded from below[J]. Chinese Ann Math,2014,B35(1):93-100.

[9] 薛瓊,肖小峰,陳歡歡. Ricci曲率,共軛半徑和大體積增長[J]. 華中師范大學學報(自然科學版),2015,49(3):331-333.

[10] ZHANG Y. Open manifolds with asymptotically nonnegative Ricci curvature and large volume growth[J]. Proceedings of the American Mathematical Society,2015,143(2):4913-4923.

[11] 詹華稅. 具非負Ricci曲率和強有界幾何條件的流形[J]. 數學年刊,2008,A9(4):525-530.

[12] WANG Q, XIA C. Topological rigidity theorems for open Riemannian manifolds[J]. Mathematische Nachrichten,2006,279(7):805-811.

[13] WANG Q. A topological rigidity theorem on open manifolds with nonnegative Ricci curvature[J]. Arkiv f?r Matematik,2004,42(2):399-407.

[14] SHEN Z. Complete manifolds with nonnegative Ricci curvature and large volume growth[J]. Inventiones Mathematicae,1996,125(3):393-404.

[15] CHEEGER J. Critical points of distance functions and applications to geometry[J].Lecture Notes in Math,1991,1504(1):1-38.