形如2α-1p1p2p3的near-perfect數

馮 遷， 廖群英

(四川師范大學 數學與軟件科學學院, 四川 成都 610066)

2000多年前歐幾里得提出perfect(完美)數的概念，稱滿足σ(n)=2n的正整數n為完美數，其中σ(n)表示n的所有正因子之和，并構造出了所有的偶完美數；但是歐幾里得不能給予完整的證明，最終歐拉完成了這個任務，其生成方式和梅森素數有直接關系，即n為偶完美數當且僅當n=2k-1(2k-1)，其中k、2k-1均是素數[1-3].2000多年過去了，梅森素數的無窮性、奇完美數的存在性等問題仍然難以解決[4-9].于是與此相關的概念誕生，比如本文考慮的near-perfect數.

定義1[3]若正整數n，使得等式σ(n)=2n+d成立，其中d是n的真因子，則稱n為near-perfect數，并稱d為n的冗余因子.(注意到，如果n是near-perfect數，則冗余因子d是唯一的.)

對于形如n=2α-1p1p2p3的n-p數，其中α∈Z，α≥2，p1、p2、p3是不同的奇素數且p1

(2α-1)(p1+1)(p2+1)(p3+1)=
2αp1p2p3+d.

(1)

對以上等式奇偶分析易得2|d.于是

d∈{2β，2βp1，2βp2，2βp3，2βp1p2，2βp1p3，
2βp2p3，2βp1p2p3}， 1≤β≤α-1.

在(1)式中令p1+1=k，即得

(2α-1)k(p2+1)(p3+1)=2αp1p2p3+d.

若p3|d，則由p1

均與p2是正數矛盾，故只需考慮5種情況:d=2β、2βp1、2βp2、2βp1p2、2βp1p2p3.

本文給出冗余因子d=2β、2βp1或2βp2時，n的一種生成方式；進而在條件p1?(p2+1)下，得到d=2α-1p1p2時，n的全部取值；最后對d=2βp1p2p3的情形得到一些基本性質.

1 主要結果

定理1設α、β、γ均為正整數，p1=2α+2β-γ-1為奇素數.令

u=22α+γ-β+2α-2α+γ-β.

若存在正整數x,y>1，滿足

u(u-1)-2γ=xy，

且p2=x+u-1和p3=y+u-1均為奇素數，則

n=2α-1p1p2p3

是以d=2β為冗余因子的n-p數，其中2≤γ≤β-1≤α-2.

定理2設α、β、γ均為正整數，p1=2α+2α-γ-1為奇素數.若存在分解

p1(2α+γ-βp1-2α-β-1)=2α-β-γxy，

使得

p2=x+2α+γ+2α-2γ-1，

p3=y+2α+γ+2α-2γ-1

均為奇素數，則n=2α-1p1p2p3是以d=2βp1為冗余因子的n-p數，且1≤γ≤β≤α-1.

定理3設α、β均為正整數，p1、p2、p3為不同的奇素數，p1

其中，1≤β≤α-2，t∈Z.

命題1設α、β、γ均為正整數，p1、p2、p3為不同的奇素數，p1

p1?(p2+1)，

則不存在以d=2βp1p2p3為冗余因子的形如n=2α-1p1p2p3的n-p數，其中α>β>γ≥1.

命題2設p1、p2、p3為不同的奇素數，p1

2 主要結果的證明

定理1的證明由p1=2α+2β-γ-1為奇素數，且

u=22α+γ-β+2α-2α+γ-β，

p2=x+u-1，p3=y+u-1，

xy=u(u-1)-2γ，

可得

(p2+1-u)(p3+1-u)=xy=u(u-1)-2γ.

(2α-1)(p1+1)(p2+1)(p3+1)-2αp1p2l3=2β.

從而由定義1可得定理1.

定理2的證明因為p1=2α+2α-γ-1，不妨設u=2γp1，則奇素數p2=x+u-1，p3=y+u-1.從而由σ(n)的定義可知

故由定義1可知定理2成立.

定理3的證明必要性 即若n=2α-1p1p2p3是以d=2α-1p1p2為冗余因子的n-p數，其中

p1?(p2+1),

則由(1)式可知

(p1+p2+1)(p3+1)(2α-1)=
(p3-2α-1+1)p1p2.

(2)

注意到p1

1)p1|(p3+1)且p2|(2α-1);

2)p1|(2α-1)且p2|(p3+1);

3)p1p2|(2α-1);

4)p1p2|(p3+1).

通過(2)式容易排除形1)～3)，故只需考慮情形4).不妨設p1p2u=p3+1，代入(2)式得

u[(p1+p2+1)(2α-1)-p1p2]=

-2α-1?u=2β， 1≤β≤α-1.

注意到p1?(p2+1)，此時情形4)等價于如下方程組

(3)

至此，將其轉化為文獻[10]中的定理2.1中的(3)的情形，于是可得其所有解為

充分性 根據n-p數的定義容易驗證(1)式成立，故得證.

命題1的證明反證法 設n=2α-1p1p2p3是以d=2βp1p2p3為冗余因子的n-p數，則由(1)式可知

因奇質數p1=2α+2β+2γ-1，故上式等價于

2γp1(p2+p3+1)=(p2+1)(p3+1).

(4)

在(4)式中，由整除性關系有:p1|(p2+1)或p1|(p3+1).

由命題假設p1?(p2+1)，只需考慮p1|(p3+1):

若p1|(p3+1)，不妨設p1l1=p3+1，將其代入(4)式得

l1(p1(2α-γ+2β-γ)-1)=
p2(l1-2α-γ-2β-γ).

(5)

在(5)式中由整除性有p2|l1或

p2|(p1(2α-γ+2β-γ)-1).

當p2|(p1(2α-γ+2β-γ)-1)時，不妨設

p2l2=p1(2α-γ+2β-γ)-1，

將其代入(5)式得

l1l2=l1-2α-2β-γ，

不可能，排除;當p2|l1，不妨設p2l3=l1，結合p1l1=p3+1，有p1p2l3=p3+1.將其代入(1)式容易得到p3|2α-1，這與

p3>p1=2α+2β+2γ-1>2α-1,

矛盾.

綜上可知命題1成立.

命題2的證明已知n=2α-1p1p2p3是以d=2β為冗余因子的n-p數，若

為奇素數，容易驗證等式

σ(n′)=2n′+2βpi，i=1，2

注1一些比較有趣的問題:

1) 以d=2β為冗余因子的形如

n=2α-1p1p2p3

的n-p數是否無窮多?

2) 對每個α≥2，都有形如n=2αp1p2p3的n-p數?

3) 在偶n-p數集合中，當2?d時，d必是梅森素數嗎?

4) 確定第m個n-p數的漸進形式;

5) 確定所有奇n-p數的性質或判別準則.

注2利用計算機搜索到了滿足定理1～3以及命題2條件的n-p數分別如下:

1)n=5 020 330 978 238 336，

n=338 107 574 312 576，

n=606 612 165 182 277 661 184;

2)n=22 342 536 833 728，

n=1 883 115 542 848，

n=606 612 165 182 277 661 184;

3)n=2 510 165 914 244 992，

n=2 510 165 914 244 992，

n=388 660 513 622 544 896;

4)n=1 845 991 216，n=6 800 228 816.

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