代數和模的控制維數

惠昌常

(1. 首都師范大學 數學科學學院， 北京 100048; 2. 河南師范大學 數學與信息科學學院, 河南 新鄉 453007)

1 控制維數的定義和著名的Nakayama猜想

在環與代數的研究中，利用同調性質或維數來分類代數和模是一個常用而且非常有效的方法.控制維數的引入就是一個典型的例子.早在1958年，Nakayama[1]就提出利用代數的控制維數來分類代數.我們回顧一下控制維數定義的歷史和最終的定義.

總假設A是域k上的一個有限維代數，并限定在代數A的有限生成左模范疇A-mod中討論問題.將代數A的有限生成的右模范疇記作mod-A，或Aop-mod，其中Aop表示A的反代數；代數A的有限生成A-A-雙模范疇記作A-mod-A，或Ae-mod， 這里Ae表示代數A的包絡代數A?kAop.在雙模范疇Ae-mod中考察代數A的一個雙模正合序列

0→AAA→I0→I1→…→In-1,

其中I0,I1,…,In-1作為雙模,既是投射的也是內射的.Nakayama在文獻[1]中提出按照這種分解的長度來分類代數，并猜想:如果一個代數存在一個無限長的這種內射分解，則這個代數必定是自入射的，即AA是一個內射模.隨后，Tachikawa[2]研究了具有這種分解的代數，證明了在長度n>0的情況下它們都是QF-3代數，即具有極小忠實投射-內射模的代數.Tachikawa在文獻[3]中放松了上述的分解條件，即只在A-mod中來討論上述問題，也給出了相應的猜想.這樣，一個代數A的控制維數記作

dom.dim(A)，

就定義為：在AA的極小內射分解

0→AA→I0→I2→…→In→…

中使得I0,I1,…,In-1為投射模的最大的自然數n.嚴格地講，這樣定義的控制維數應該叫做“左控制維數”.當然這里一個很自然的問題是：如果用右模來定義，得到的右控制維數又會是怎樣的呢？左、右控制維數相等嗎？在文獻[4]中，Müller證明了對于一個有限維代數A來說，它的左控制維數、右控制維數和Nakayama定義的雙邊控制維數都是相等的.這就是為什么今天在討論代數的控制維數時，只用左模來定義控制維數就夠了.顯然，自入射代數的控制維數是無限的.這句話的逆命題就是Nakayama猜想了，它可以敘述為：

Nakayama猜想設A是域上的一個有限維代數，如果dom.dim(A)=∞，則A是自入射代數，即AA是內射模.

這個猜想也列在著名代數表示理論專家Auslander等在1995年出版的專著中(文獻[5]的猜想(8))，已有60年的歷史了，但它依然是公開問題.對于分次的代數，這個猜想是成立的[6-7].

為了敘述方便，將控制維數的定義擴展到任意的A-模X上.設

0→AX→I0(X)→I1(X)→…→In(X)→…

是X的一個極小內射分解.設I是一個內射A-模，0≤n ≤∞.如果n是使得所有I0,I1,…,In-1都屬于add(I)的最大者，就說X關于I的控制維數是n，記作

I-dom.dim(X)=n,

這里add(I)表示在A-mod中由I生成的可加滿子范疇.當add(I)是所有投射-內射模構成的范疇時，把

I-dom.dim(X)

簡單寫作dom.dim(X)，并稱它為X的控制維數.

2 控制維數對代數的分類

在20世紀60年代的后期，Müller在控制維數方面做了大量有意義的工作[8-9]，包括前面提到的一些工作.這里介紹利用控制維數對代數分類的一些結果.先回憶一些概念.

設A是一個k-代數，M是一個A-模.稱M為極小忠實模,如果它是忠實的(faithful)，并且對任意的忠實模N都有一個直和分解：N?M⊕N′，其中N′是一個A-模.代數A叫做QF-3代數,如果它有一個極小忠實左模和極小忠實右模.注意，極小忠實模一定是投射的.模AM叫做生成子,如果每個不可分解投射模都同構于M的一個直和項；叫做余生成子,如果每個不可分解內射模都同構于M的一個直和項；叫做生成-余生成子,如果它既是生成子也是余生成子.在一些文獻上，生成-余生成子也叫做完全忠實模(fullyfaithfulmodule).

定理2.1假設A是一個有限維k-代數.

1)dom.dim(A)≥1當且僅當A是QF-3代數[2].

2)dom.dim(A)≥2當且僅當存在一個代數B，一個生成-余生成子BV，使得A?EndB(V)[4].

事實上，Müller[4]證明了如下更一般的事實.

Hoshino[10]給出控制維數至少是2的代數的另一種刻畫.

命題2.3[10]設R是左、右Noether環，則dom.dim(R)≥2當且僅當函子()**:R-mod→R-mod是左正合的，這里()*:=HomR(-,R).

Hoshino的上述結論被Colby在文獻[11]中利用傾斜模(定義見本文第4節)的控制維數做了大幅度的推廣.

對于任意的n,目前還沒有見到對控制維數是n的這類代數的刻劃.如果將控制維數和整體維數相結合來刻劃代數，這方面的工作首先是Auslander對整體維數不超過2，控制維數至少是2的代數進行的刻劃，他證明了這類代數是表示有限型代數的可加生成子的自同態代數[12],這類代數稱為Auslander代數.近年來，Iyama等[13]討論了整體維數不超過n，控制維數至少是n的代數.

控制維數在張量積下有如下的計算公式[4]：對任意的k-代數R和S，

dom.dim(R?kS)=
min{dom.dim(R),dom.dim(S)}.

對于控制維數無限的代數，Martinez-Villa利用函子反變有限子范疇(contravariantlyfinitesubcategory)研究了相關的撓對(torsionpair)和代數的自入射性，更詳細的討論見文獻[14-15].

最后指出，在Frobenius擴張下，控制維數與幾乎凝聚環(almostcoherentring)的關系在文獻[16]中有深入的研究.

3 控制維數與Schur代數

控制維數在Schur代數或更一般的q-Schur代數的上同調群研究中也扮演著一個特別有用的角色.假設k是一個域，n≥r是兩個自然數，用S(k,n,r)表示域k上關于對稱群Σr的Schur代數(詳細定義見文獻[17]).在Schur代數的模范疇和對稱群代數的模范疇之間有一個Schur函子

F: S(k,n,r)-mod→kΣr-mod，

這個函子把S(k,n,r)-mod中具有Weyl模濾鏈的模范疇F映射到kΣr-mod中具有對偶Specht模濾鏈的模范疇F ′.文獻[18]證明了這類模的上同調群之間有一個同構的關系，他們的結果是針對更廣泛的一類代數而證明的，限制到Schur代數就有如下結論.

定理3.1[18]設域k是無限域，特征是p>0，n≥r≥p， 對任意的M∈F，任意的X∈S(k,n,r)-mod， 都有:

2)dom.dim(Sk(n,r))=2(p-1).

這個結果也推廣了文獻[19-20]中的相應結論， 事實上，在文獻[19-20]中，要求p>5和n≥r.

關于控制維數與Schur-Weyl對偶的聯系和一些應用，參見文獻[21].

4 導出等價下控制維數的變化

在代數與范疇的研究中，有3種基本的等價關系是比較重要的，它們是Morita等價、穩定等價和導出等價.

我們知道如果兩個代數的模范疇是等價的，就稱這兩個代數是Morita等價.這個概念最早源于Morita的著名工作[22].但就是這個今天經常要用到的工作，在一開始時并沒有受到重視，所以這篇文章就只好發表在大學學報一級的雜志上了.由Morita等價的定義可以看出，控制維數在Morita等價下是不變的.

兩個代數叫做穩定等價的,如果它們的穩定范疇是等價的.這里穩定范疇是指模范疇模掉投射模子范疇而得到的商范疇[5].容易看出，穩定等價不保持控制維數：域k上的2×2上三角代數與代數k[x]/(x2)是穩定等價的，但前者的控制維數是1，而后者的控制維數是無限.然而一種特殊的穩定等價-Morita型穩定等價保持控制維數.域k上的兩個代數A和B叫做Morita型穩定等價，如果存在雙模AMB和BNA使得M和N作為單邊模都是投射的，且有雙模同構：M?BM?A⊕P,N?AM?B⊕Q，其中P和Q分別是投射雙A-模和投射雙B-模[23].關于Morita型穩定等價有豐富的文獻資料，如文獻[24-30].

下面回顧導出等價的定義,為此先引入一些符號.

設R是一個有單位元的環，R-模構成的復形是指一個如下的序列

稱dX為X?的微分.復形X?到Y?的態射是一簇的模同態(fi)i∈Z，其中fi:Xi→Yi滿足

即對任意的i∈Z,有如下的交換圖:

復形的態射可按照自然的方法合成.如果令C(R)表示R-模的所有復形的全體，則C(R)就構成一個范疇,容易看出，它是一個Abel范疇.利用這個復形范疇，可以定義它上面的同倫范疇(homotopycategory)，記作K(R).如果一個復形

只有有限多個Xi不為0,就稱它是一個有界復形.用Cb(R-proj)表示有限生成投射R-模的有界復形范疇，用Kb(R-proj)表示Cb(R-proj)的同倫范疇.

值得注意的是，D(R)的態射集合的描述比較復雜，有興趣的讀者可以參考文獻[31].

導出范疇和等價或者更一般的三角范疇和等價(triangulatedcategoryandtriangleequivalence)是由大數學家Grothendieck和他的學生Verdier在20世紀的60年代引入的[32].1986年，Happel將三角范疇的理論和方法應用于有限維代數的表示理論的研究，取得了豐碩的成果[33-34].隨后，Cline等[35]推廣了Happel的結論到一般的環上，而Rickard[36]將Happel的這一想法做了全面的推廣， 建立了環的導出范疇的Morita理論.

關于導出等價，Keller[37]從微分分次代數的角度作了深入的探討，建立了微分分次代數的導出等價理論.限于篇幅，不在此進行介紹，建議讀者閱讀Keller的有關論文.下面敘述Rickard關于環的導出等價的一個主要結論.

兩個環R和S稱為是導出等價的，如果它們的導出范疇D(R)和D(S)作為三角范疇是等價的.例如，如果AT是一個傾斜A-模,Happel[33]證明了A與EndA(T)導出等價.關于環的導出等價有下面非常有用的結論.

定理4.1[36]環R和S是導出等價的充分必要條件是存在一個復形T?∈Kb(R-proj)使得:

1)HomK b (R-proj)(T?,T?[n])=0,對任意n≠0;

2)Kb(R-proj)可由T?作為可加、三角滿子范疇生成;

3)S?EndKb (R-proj)(T?).

如果Kb(R-proj)中的一個復形T?稱滿足條件1)和2),就稱T?為R的一個傾斜復形(tiltingcomplexoverR).

容易看出，Morita等價的兩個代數一定是導出等價的.反過來是不對的，這一點可由傾斜模(tiltingmodule)提供的導出等價看出來.現在的問題是:

問題1導出等價是不是保持控制維數?

對于幾乎Nakayama-穩定的導出等價(almostν-stablederivedequivalence)，控制維數是保持的[38].但一般來說，這個問題的答案是否定的，簡單的例子就是：路代數k(?→?→?)與路代數k(?→?←?)是導出等價的，但前者的控制維數是1,而后者是0,因為這個代數就沒有投射-內射模.于是，進一步的問題就是：

問題2如果2個代數是導出等價的，它們的控制維數之間會有什么樣的變化規律？

問題3在什么條件下導出等價保持控制維數的有限性(或無限性)？

上述的2個問題，可以在下面2種特殊情況下進行討論：

(a)在任意的代數類中討論特殊的導出等價下控制維數的變化規律和無限性;

(b)在特定的代數類中討論任意的導出等價下控制維數的變化規律和無限性.

關于這2種特殊情況，最新的結果是文獻[39-40]，其中文獻[39]討論情況(a)，而文獻[40]針對的是情況(b).現在對其中的一些結果進行介紹.

文獻[39]首先給出構造導出等價的兩個代數的方法，使得其中一個的控制維數至少是2，而另一個的控制維數是1.其次，討論了傾斜模給出的導出等價下控制維數的變化規律.我們知道一個A-模T∈A-mod稱為是傾斜模(tiltingmodule)[41]，如果它滿足:

1)T的投射維數有限，即pd(AT)=n<∞;

3) 存在一個正合列

0→AA→T0→…→Tn→0,Tj∈add(T),

這里add(T)表示在A-mod中由T生成的可加子范疇.

傾斜模的一個例子：設A的控制維數為n≥1,E(A)為AA的內射包，則U:=E(A)⊕(E(A)/A)就是一個投射維數小于等于1的傾斜模，且

dom.dim(AU)≥n-1,

見文獻[11]中的命題5.如果dom.dim(A)=n,即有AA的一個極小內射分解

使得I0,I1，…,In-1是投射模，則也可以類似地定義一系列的傾斜模

Tj:=I0⊕…⊕Ij-1⊕Coker(dj-1),j=1,2，…,n,

這些模就稱為典范傾斜模(canonicaltiltingmodules).

設T是一個傾斜模，將T先分解成兩部分：T=P⊕T′,其中P是投射的，T′沒有非零的投射直和項.進一步，將P再細分解：令E表示P的一個直和項，它滿足

add(E)={X∈add(P)|νA(X)∈add(T)},

同文獻[39]一樣，稱E是傾斜模T的心座(heart).令B:=EndA(T).關于A和B的控制維數，有下面的結論.

定理4.2[39]1) 如果ω∈add(νA(E)),則dom.dim(A) ≤dom.dim(B) +n;

2) 如果νA(E)∈add(ω),則dom.dim(B) ≤dom.dim(A) +n.

根據這個定理，如果

add(ω)=add(νA(E)),

則dom.dim(A)=∞當且僅當dom.dim(B)=∞.

這個定理將A和B的控制維數在假定的條件下聯系起來了，那么是否有滿足這些條件的代數和傾斜模呢？下面給出一類這樣的代數.根據文獻[42]，一個k-代數A叫做Morita代數如果它同構于EndB(BB⊕M)，其中B是自入射代數，M是一個B-模.

命題4.3設A是一個Morita代數，E0是AA的內射包，令

T:=E0⊕Ω-j(AA)，

這里Ω-j(M)表示M的第j個余合沖(cosyzygy)， 則:

1)傾斜模T:=E0⊕Ω-j(A)滿足add(E)=add(ω)，對任意1≤j

2)B:=EndA(E0⊕Ω-j(A))是Morita代數，對任意1≤j

3)dom.dim(B)=dom.dim(A),對任意

1 ≤j

關于Morita代數有以下命題.

命題4.4[39]設A是Morita代數，T是投射維數不超過n的傾斜模，令B:=EndA(T)，則

dom.dim(A) ≤dom.dim(B)+n.

進而，如果B也是Morita代數，則

|dom.dim(A)-dom.dim(B)|≤n.

一般說來，Morita代數上的傾斜模的自同態代數不一定是Morita代數.

為了給出自同態代數的控制維數的下界，下面引入梯度的概念[39].根據傾斜模的知識，對給定的傾斜模T以及任意的投射模X,存在正合列

它是νA(X)的極小右add(T)-逼近,記

定義4.5[39]設T是一個傾斜A-模，E是T的心座，0→Pn→…→P0→T→T→0是T的一個極小投射分解，X是一個投射A-模.

1)X的T-梯度，記作?T(X)，定義為

2)代數A的T-梯度定義為?T(AA),代數A的整體T-梯度定義為

?(A,T) :=min{?T(Pi) +i|0≤i≤n}.

利用T-梯度，可以給出T的自同態代數的控制維數的一個下界,見文獻[39]中的推論 4.12.

命題4.61)dom.dim(B) ≥?(A,T)≥?T(A);

2)?T(A)=dom.dim(TB)=νA(E)-dom.dim(AT).

下面介紹在Morita代數類上導出等價對控制維數的影響規律.

定理4.7[40]假設A和B都是Morita代數，

F: Db(A)→Db(B)

是一個三角等價,它對應的傾斜復形的非零項個數是n,則

|dom.dim(A)-dom.dim(B)| ≤n-1.

事實上，文獻[40]討論的特殊代數類要比Morita代數類廣泛一些.命題4.4的第二個結論是定理4.7的一個特殊情況.

有例子表明，傾斜模自同態代數的控制維數不能用傾斜模的投射維數來界定.究竟它們應該是怎樣的關系，依然是一個有待進一步考慮的問題.

5 Nakayama猜想與其他同調猜想的聯系

1)Nakayama猜想的一些進展：對廣義單列代數(generalizeduniserialalgebra)的生成-余生成子的自同態代數，Tachikawa[3]證明了Nakayama猜想成立.

2) 有限維數猜想,見文獻[43]中的猜想(11)：給了一個有限維代數A,定義A的有限維數為

fin.dim(A)=sup{pd(M)|

M∈A-mod,pdA(M)<∞}.

有限維數猜想指fin.dim(A)<∞,這個猜想也是至今懸而未解.它與Nakayama猜想的關系是：如果fin.dim(A)<∞,則Nakayama猜想對A成立.因為如果

是A的一個極小內射分解，且所有Ij都是投射模，那么每個di的余核(Cokernel)如果不是投射模，那它就是一個投射維數為i+1的模.由于fin.dim(A)<∞,所以必有一個n使得dn的余核是投射模.這樣，整個正合列

0→AA→I0→I1→…→Coker(dn)→0

就可裂，從而A是自入射代數.

所以，對有限維數有限的代數，Nakayama猜想成立.關于有限維數猜想的一些進展見文獻[44].

3)Tachikawa在文獻[45]的第八章中還提出了與Nakayama猜想相關的一些猜想：

(a) 域k上的代數A如果滿足

對所有的i≥1都成立，則A必是自入射代數;

猜想(b)成立的情況在文獻[45]中對p-群代數做了驗證.這個猜想與下面的廣義Nakayama猜想有關系.

4) 廣義Nakayama猜想(generalizedNakayamaconjecture)是Auslander[46]在1975年研究Nakayama猜想時提出的一個猜想.如果

0→AA→I0→I1→…

關于這些猜想之間的蘊含關系，Yamagata在文獻[48]中有詳細的敘述.例如，任何一個猜想對代數A成立都意味著Nakayama猜想對代數A也成立,建議讀者參看Yamagata的原文.這些猜想都沒有完全解決，依然是公開問題.對特殊情況，已有一些驗證.限于篇幅和本文的主題，在這里對它們不做介紹.

6 一些公開問題

1) 設兩個有限維代數A和B是導出等價的.如果A是Morita代數且dom.dim(B)≥2，那么B也是Morita代數嗎？

2) 若兩個有限維代數A和B是導出等價的，是否有A的控制維數是無限的,當且僅當B的控制維數是無限的？

3) 在什么條件下,導出等價的兩個代數A和B有相同的控制維數?

4) 對導出等價下的一個代數等價類，是否存在控制維數的一個上界函數？如果有，是否有一個估算公式？

致謝本文的最后一稿是在2017年7—8月參加南方科技大學代數專題暑期學校期間完成的，對北京大學的張繼平教授、南方科技大學的李才恒教授在暑期學校期間給予的幫助和支持，在此表示衷心地感謝.在此也感謝北京師范大學的劉玉明老師閱讀初稿，并提出一些修改意見.

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