RN上一類非線性Schr?dinger-Kirchhoff型方程非平凡解的存在性和多重性

惠艷梅，郭祖記

(太原理工大學 數學學院，太原 030024)

1 主要結果

本文主要研究Schr?dinger-Kirchhoff型問題

(P)

由于Kirchhoff型問題的重要性,近年來,很多學者研究了如下Kirchhoff型問題

非平凡解的存在性[1-6]。最近文獻[7]又研究了非線性項f具有次臨界增長的Schr?dinger-Kirchhoff型問題

(1)

非平凡解的存在性和多重性。本文受此啟發,主要將問題(1)中p=2的情形推廣到任意p的情況。從文中可以看出,這種推廣并不是平凡的，需要克服許多困難,例如問題(P)的能量泛函滿足(PS)條件的證明。

F2) 存在開集Ω?RN,常數ξ,η>0,k∈(1,p)使得對任意的(x,t)∈Ω×[-ξ,ξ],有

F(x,t)≥η|t|k.

F3) 對任意的(x,t)∈RN×R,有f(x,-t)=-f(x,t).

得到如下主要結論：

定理1 若條件V),F1),F2)成立,則問題(P)至少存在一個非平凡解。

定理2 若條件V),F1)-F3)成立,則問題(P)存在無窮多個非平凡解。

2 基本引理

對任意的1≤s≤+∞,|·|s表示通常的Lebesgue空間Ls(RN)上的范數。本文工作空間為

在E中引入范數

可以證明問題(P)所對應的能量泛函是

(2)

并且J∈C1(E,R).從而由式(2)定義的泛函J的臨界點即為方程(P)在E中的解.本文中用C和Cp表示一些正常數。

下面的引理是證明本文主要結果的理論依據。

∑={A∈E(〗0}:A是E中的閉集且關于0對稱}；

Kc={u∈E:J(u)=c,J'(u)=0},Jc={u∈E:J(u)≤c}；

∑n={A∈E:γ(A)≥n}；

其中虧格

γ(A)=inf{n∈N:?φ∈C(A,RN(〗0}),φ(-x)=-φ(x)} .

則有下面的結論。

引理2[9]J∈C1(E,N)是偶泛函,滿足(PS)條件,對任意的n∈R,

1) 如果∑n≠?,cn∈R,那么cn是J的一個臨界值。

2) 如果存在r∈N,使得cn=cn+1=…=cn+r=c∈R且c≠J(0),那么γ(Kc)≥r+1.

引理3 假設條件V),F1)成立,則J下方有界且滿足(PS)條件。

證明：1) 證明J下方有界。由F1)及H?lder不等式可得

(3)

由于1<δi

2) 證明J滿足(PS)條件。令{un}是E中的(PS)序列,即當n→+∞時，J(un)→c,J'(un)→0.由式(3)可知,{un}有界,于是對于{un}的某個子列,仍記為{un},存在u0∈E,使得

(4)

‖un‖≤M,‖u0‖≤M.

(5)

由J'(un)→0及式(4)可得

(6)

由條件F1)知,對任意ε>0的,取ρ>0可得

(7)

由條件F1),式(6),式(7),H?lder不等式及Sobolev嵌入定理可得

(8)

由式(4)知,存在{un}的某個子列,仍記為{un}以及非負可測函數U∈Lp(Bρ),使得當|x|≤ρ時,有|un|p,|u0|p≤U在Bρ(0)上幾乎處處成立。由條件F1)有

(9)

由式(9)及Lebesgue控制收斂定理可知

(10)

從而由式(4),式(8),式(10)及H?lder不等式有

(11)

由式(4)知

V(x)|u0|p-2u0(un-u0))dx=o(1),n→+∞ .

(12)

對任意的ξ,η∈RN,由不等式[10]

(13)

知存在正常數Cp使得

(14)

且

(15)

從而由式(6),式(11),式(12),式(14)及式(15)可知

所以，

3 主要結果的證明

(16)

由10,有J(tu0)<0,那么得到J(u*)=c<0.因此u*是J的一個非平凡臨界點,即u*是問題(P)的一個非平凡解。

定理2的證明由引理3得到J∈C1(E,R)下方有界且滿足(PS)條件。由F3)及式(2)知，J(0)=0且J是偶泛函。現在證明對任意的n∈N,存在ε>0使得

γ(J-ε)≥n.

(17)

對任意的n∈N,取n個互不相交的開集Ωi使得

對每個i∈{1,2,…,n},取u=∑ni=1λiui.

(18)

則有

(19)

且

(20)

因為有限維范數空間En中所有的范數都等價,因此存在常數C>0使得對任意的u∈En,有

C‖u‖≤|u|k.

(21)

由條件F2),式(19)-式(21),對任意的u∈Sn,可知

(22)

由式(22)可知,對充分小的t>0,存在ε>0,δ>0,使得對任意的u∈Sn,有

J(δu)<-ε.

(23)

令

(24)

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