一類非線性發展方程的整體吸引子

孫晶晶，張建文

(太原理工大學 數學學院，太原 030024)

非線性發展方程整體吸引子的存在性是動力系統中廣泛研究的問題之一,比如非線性發展方程

(1)

式中：α,β,γ,μ為正常數；f(u)∈C0(R,R),Ω?Rn,且具有足夠光滑的邊界。當α=1,β=0,γ=0時,關于系統(1)的適定性問題和長時間行為已有了很好的結果,如尚亞東[1]研究了其整體強解的存在性和唯一性;張宏偉等[2]利用勢井方法研究了整體弱解的存在性,漸近性和不存在性;XIE et al[3]應用一種新的方法研究了該問題的長時間行為以及當μ=1時的漸近行為;牛麗芳等[4]研究了系統具有記憶項時整體吸引子的存在性。文獻[5]在前人的基礎上研究了當μ=1時,α，β，γ均為正常數系統的初邊值問題。

XIE et al[6]應用文獻[7-9]中介紹的方法在R3中研究了一類半線性發展方程的漸近光滑性和整體吸引子

(|ut|r-2ut)t-Δu-Δut-Δutt+f(u)=g,x∈Ω,u|t=0=u0,ut|t=0=u1,x∈Ω,u|?Ω=0 .

(2)

綜合考慮式(1)和式(2),可建立如下更為一般的非線性發展方程

(3)

u|t=0=u0,ut|t=0=u1,x∈Ω.

(4)

u|?Ω=0 .

(5)

式中：非線性函數M(·),N(·)是由于材料的非線性本構關系所致的,有界開集Ω?R3,并且具有光滑的邊界?Ω；常數α,μ>0,3≤r≤6；u(x,t)為未知函數；f(u)∈C1(R,R)為給定的滿足適當條件的非線性項；g(x)∈L2(Ω)為給定泛函。相比較文獻[6-7],本文討論的方程更具有一般性,并從后面的討論會發現，增加非線性函數M(·)和N(·)之后帶來了很多困難。以下內容分為兩部分:一是介紹了系統的先驗估計;二是先用Galerkin方法驗證了解的存在唯一性,然后應用條件(C)[13]的方法證明了系統存在整體吸引子。

而且若設X,Y為巴拿赫空間,‖·‖X,‖·‖Y分別為空間X與Y的范數,則對?(u,v)T∈X×Y,定義其范數為

‖(u,v)T‖X×Y=‖u‖X+‖u‖Y.

本文中非線性項f(s)∈C1(R,R)滿足如下的假設:

|f(r)-f(s)|≤C(1+|r|4+|s|4)|r-s|,r,s∈R.

(6)

而且,令f滿足分解f=f0+f1,其中f0,f1∈C1(R,R)也滿足

|f0(s)|≤C(1+|s|5),?s∈R.

(7)

f0(s)s≥0,?s∈R.

(8)

|f1(s)|≤C(1+|s|p),p<5,?s∈R.

(9)

(10)

式中：λ1為-Δ在狄利克雷邊界條件下的第一特征值,則由式(6)與式(8)可知存在常數C>0,λ<λ1,使得

f(s)s≥f1(s)s≥-λs2-C,?s∈R.

(11)

(12)

(13)

1 系統(3)-(5)的先驗估計

(14)

以及初始條件

(15)

(16)

分別取φ=ωj；j=1,2,…,m,則式(14)-(16)是一個非線性常微分方程組的柯西問題。由常微分方程理論可知:存在tm>0,使得在[0,tm]上存在唯一的解um(t)(0≤t

下面將得到關于解um(t)的先驗估計:

M(0)=0,N(0)=0,sN(s)≥0,M(s)≥a+bs(b>0) .

(17)

則對任意的T>0方程(3)-(5)的解u滿足:

(18)

((|umt|r-2umt)t-[α+M(zm(t))+N(zmt(t))]Δum-μΔumt-Δumtt+f(u),umt)=(g(x),umt) .

其中

也就有

(18)

在[0,t](tt并應用Cauchy-Schwarz不等式可得

(19)

根據式(17)可得:

(20)

又由f的連續性有F(um(x,0))→F(u0m).因此,

從而不等式(20)左端的各項對于一切自然數m及任意t∈[0,T]均有界,故存在正常數M1(R)使得式(17)成立。

(21)

證明：在式(14)中取φ=umtt可得

(22)

由Young不等式及H?lder不等式可知

而且應用中值定理可得

由式(7)與式(9),綜合Sobolev嵌入定理以及Poincare'不等式

故式(22)可以簡化為:

(23)

2 整體吸引子

(24)

dx)]Δu-μΔut-Δutt+f(u)-g(x),φ)=0 .

(25)

u|t=0=u0(x),ut|t=0=u1(x) .

(26)

證明：由引理1和引理2,應用Galerkin方法可以很容易的得到解的存在性。下面我們來證明該問題的弱解是唯一的,且連續依賴于初值。

假設u,v分別是系統(3)-(5)對應于初值(u0,u1),(v0,v1)的兩個解,令ω=u-v,則ω滿足以下初邊值問題

(27)

ω|t=0=ω0,ωt|t=0=ω1,x∈Ω.

(28)

ω|?Ω=0,t>0 .

(29)

用ωt分別與式(27)兩端作L2(Ω)中的內積可得:

(r-1)(utt(|ut|r-2-|vt|r-2)+|vt|r-2ωtt,ωt).

(29)

其中，

而且,

所以,

(30)

注意到M(a)2-M(b2)≤M'(sup{a2,b2})|a-b||a+b|,故

又由中值定理以及M',N'的連續性可知:

同理

故

(31)

最后來處理非線性項,由假設式(6)

(32)

綜合式(30)-(32),式(29)可以簡化為

所以,

(33)

下面用ωtt與式(27)兩端作L2(Ω)的內積:

(33)

其中,

(34)

(35)

(36)

(37)

綜合式(34)-(37)可得

(38)

從而由式(33),式(38)可知:

(39)

式中：K為正常數。對式(39)應用Gronwall引理可得:

(40)

顯然,若u0=υ0,u1=υ1,則ω=ωt=0,從而解的唯一性得證。

(41)

由定理1和引理3可以定義半群

而且滿足通常的半群性質:

S(t+s)=S(t)S(s),S(0)=I,?t,s≥0 .

(42)

且不難證明,對一切t≥0,{S(t)}都是連續的。

定義1[14]空間X上的半群{S(t)}t>0滿足條件(C):如果對任意的ε>0和X中的任何有界集B,存在tB≥0和X的有限維子空間X1,使得對任意的t≥tB都有{PS(t)x|x∈B,t>tB}是有界的,而且對任意的x∈B,均有‖(I-P)S(t)x‖X≤ε,其中P∶X→X1是有界投影,I是恒等映射。

引理4[14]假設Z是Banach空間,{S(t)}t≥0是在Z上的C0半群,如果{S(t)}t≥0滿足如下條件:

1) {S(t)}t≥0在Z中具有有界吸收集B0;

2) {S(t)}t≥0在Z中滿足條件(C),則稱{S(t)}t≥0在Z中存在整體吸引子。

下面證明半群{S(t)B}t≥0的耗散性。

定理2 動力系統(3)在E0上具有有界吸收集;也就是對任意有界集B0?E0,存在T0=T0(B)使得

S(t)B?B0,?t≥T0.

(43)

證明：設v=ut+δu,并將方程式(3)-(5)的第1個式子化為如下形式

(44)

用v與式(44)作內積,并且假設δ足夠小則有

(45)

(46)

為方便,簡單記為

以及

從而方程式(46)可以簡化為

也就有

(47)

其中

(48)

根據式(11)和式(12),并應用Young不等式可得

(49)

(50)

其中

則有

結合式(48)應用引理2可知

所以

(51)

所以對任意的t≥T0(B),都存在Q>0使得

(52)

定理3 動力系統(3)的解半群{S(t)}t≥0在E0中存在整體吸引子A,即A在E0中是緊的,不變的,且按E0中的范數吸引E0中任意有界集。

證明：應用引理4,現在只需證明解半群{S(t)}t≥0在空間E0中滿足條件(C)即可。

0≤λ1≤λ2≤λ3≤…,λi→∞,當i→∞ .

若設Hm=span{ω1,ω2,…,ωm},對于?(u,ut)T∈E0則有如下唯一的分解

(u,ut)T=(u1,u1t)T+(u2,u2t)T.

應用式(44)與v2作L2(Ω)中的內積,可得

(53)

由Sobolev嵌入定理以及定理2可知,對任意的ε>0,存在T=T(B,ε)和m(空間Hm的維數),使得對一切t≥T,n≥m都有以下估計成立:

綜合以上估計:

(54)

結合引理4和定理2可知:系統(3)的半群{S(t)}在E0中有整體吸引子A.

[1] 尚亞東.方程utt-Δu-Δuτ-Δutt=f(u)的初邊值問題[J].應用數學學報,2000,23(3):385-393.

SHANG Y D.Initial boundary value problem of equationutt-Δu-Δuτ-Δutt=f(u)[J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica,2000,23(3):385-393.

[2] 張宏偉,呼青英.一類非線性雙曲方程整體弱解的存在性和不存在性[J].工程數學學報,2003,20(3):131-134.

ZHANG H W,HU Q Y.Existence and nonexistence of solution for a class nonlinear hyperbolic equation[J].Journal of Engineering Mathematics,2003,20(3):131-134.

[3] XIE Y Q,ZHONG C K.The existence of global attractors for a class nonlinear evolution equation[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2007,336(1):54-69.

[4] 牛麗芳,張建文,張建國.一類帶記憶項的非線性彈性桿的全局吸引子[J].數學的實踐與認知,2013,43(18):262-268.

NIU L F,ZHANG J W,ZHANG J G.Existence of global attractors for a class of nonlinear elastic rod equation with memory type[J].Mathematics in Practice and Theory,2013,43(18):262-268.

[5] 牛麗芳,張建文.一類具有黏阻尼的非線性彈性桿方程的初邊值問題[J].太原理工大學學報,2014,45(1):128-132.

NIU L F,ZHANG J W.Initial-boundary value problems for a kind of nonlinear elastic rods with some sui
Table damped[J].Journal of Taiyuan University of Technology,2014,45(1):128-132.

[6] XIE Y Q,HE Z F,XI C,et al.Asymptotic smoothing and global attractors for a class of nonlinear evolution equations[J].ISRN Mathematical Analysis,2015,2013(4):13-19.

[7] YANG M,SUN C.Dynamics of strongly damped wave equations in locally uniform spaces:attractors and asymptotic regularity[J].Transactions of the American Mathematical Society,2009,361(2):1069-1101.

[8] SUN C,YANG M.Dynamics of the nonclassical diffusion equations[J].Asymptotical Analysis,2008,59(1/2):51-81.

[9] ZELIKS.Asymptotic regularity of solutions of a nonautonomous damped wave equationwith a critical growth exponent[J].Communications on Pure & Applied Analysis,2004,3(4):921-934.

[10] 張宏偉,呼青英.一類非線性發展方程整體弱解的存在性和穩定性[J].數學物理方程,2004,24(3):329-336.

ZHANG H W,HU Q Y.Existence of global weak solution and stability of a class nonlinear evolution equation[J].Acta Mathematica Scientia,2004,24(3):329-336.

[11] 楊莉,謝永欽.一類非線性發展方程整體弱解的存在性[J].湖南工業大學學報,2010,24(1) :36-39.

YANG L,XIE Y Q.Existence of global weak solution for a class of nonlinear evolution equation[J].Journal of Hunan University of Technology,2010,24(1):36-39.

[12] 秦桂香,李妍汝,李青松,等.一類非線性發展方程的全局吸引子[J].湘潭大學自然科學學報,2013,35(1):25-28.

QIN G X,LI Y R,LI Q S,et al.Global attractors for a class of nonlinear evolution equations[J].Natural Science Journal of Xiangtan University,2013,35(1):25-28.

[13] XIE Y Q,ZHONG C K.Asymptotic behavior of a class of nonlinear evolution equation[J].Nonlinear Analysis,2009,71(11):5095-5105.

[14] ZHONG C K,YANG M H,SUN C Y.The existence of global attractors for the norm-to-weak continuous semigroup[J].J Differential Equations,2006,223:367-399.