一種逐層變化的閾值和改進的小波閾值去噪算法*

周昌順，張 欣，文 章，張平康

（貴州大學 大數據與信息工程學院，貴州 貴陽 550025）

0 引 言

隨著數字技術的發展，人類生活與活動中的大多數重要角色被數字圖像所占據，如衛星電視、X射線透視、天文觀測、地理信息系統的開發等都要用到數字圖像[1]。然而，圖像數據常會受到噪聲污染。為了便于圖像后期的研究和應用，經常要先對圖像進行去噪處理[2]。小波變換作為典型的時-頻分析方法，在圖像壓縮與去噪等研究方向得到了廣泛應用。幾種小波去噪算法中，小波閾值去噪算法的研究最全面[3]。硬、軟閾值函數方法在小波去噪算法中最典型，但硬閾值函數在閾值處不連續，使得重構圖像產生了局部振鈴現象；而軟閾值函數雖無間斷點，但有恒定偏差缺陷，導致重構后圖像產生了偽吉布斯現像。針對以上不足，文獻[4-5]提出了幾種改進算法，相對于軟、硬閾值去噪結果有了一定改善。本文在參考文獻[4-5]方法的基礎上，設計了一種改進閾值函數算法。經由改進后閾值函數處理的系數，在閾值處連續，且接近原系數。

1 小波閾值去噪

1994年，Stanford大學的Donoho與Johnstone在高斯噪聲模型下，針對多維獨立正態變量決策理論，提出了小波閾值去噪算法[6]。隨后，他們于1995年提出了硬閾值和軟閾值去噪算法，并推導出VisuShrink閾值公式，又稱通用閾值法與SureShrink閾值公式，同時證明了其在均方意義下是漸進最優的[7]。由于小波具有低熵性、多分辨性、去相關性和選基靈活性等特點，所以被成功應用于圖像去噪。

1.1 小波閾值去噪原理及步驟

1.1.1 基本原理

小波閾值去噪是因為信號x(k)和噪聲n(k)轉換到小波域中系數具有不同分布特性。有用信號x(k)的能量集中在少數幅度值較大的系數上，而噪聲信號n(k)變換后的能量均勻分布在整個高頻部分，且系數幅度值較小。隨著分解層數N的增加，信號x(k)的小波系數幅度變化較小，而噪聲信號n(k)的小波系數快速減小。于是，可以確定合適的閾值T，對分解所得小波系數進行閾值處理。若系數幅度值小于閾值T，認為它是噪號n(k)的系數，把它濾除掉；若系數幅度值大于閾值T，認為它是有用信號x(k)的系數，予以保留。以此原理實現對圖像的去噪[8]。

1.1.2 實現步驟

定義含噪圖像的基本模型為：

其中f(i, j)是含噪信號，x(i, j)是原始信號，n(i, j)是加性白噪聲。含噪圖像去噪過程的流程圖，如圖1表示。

圖1 閾值去噪流程

wi,j是噪聲圖像f(i, j)的小波系數；,?ijw是去噪函數處理所得的小波系數；為去噪后的重構圖像。

1.2 小波閾值的選擇

閾值作為小波閾值去噪的關鍵，如何選擇顯得尤為重要。迄今為止，眾多學者在這方面做了大量研究，其中最著名的是Donoho等人提出的通用閾值（Universal Threshold）[8]：

式中：σn是高斯白噪聲的標準偏差；N為小波系數的總和。

Universal Threshold的目標是要消除所有小波系數中幅度值小于噪聲小波系數最大幅度值的小波系數。除了Universal Threshold外，還有Donoho和Johnstone在1995年提出的SURE閾值[9]，主要是在每一分解層采用不同閾值，目標是使原圖像與去噪圖像間均方差最小。

SURE閾值如下：

其中：t為初始閾值，wj表示來自子帶j的小波系數。

Bayes Shrink閾值，前提是假定小波系數服從廣義的高斯分布，應用Bayse數學框架，以最小Bayes平均風險為準則，獲得各子帶的小波系數為：

此外，還有Chang等人提出的局部自適應閾值[10]，Nason等提出的基于Cross-Validation準則的閾值[11]等。

1.3 常見的小波閾值函數

1.3.1 硬閾值函數（Hard Threshold）

硬閾值函數去噪原理是把噪聲圖像分解所得小波系數與給定閾值相比較。若系數幅值的絕對值大于給定閾值，則保留系數；相反，則把系數置零。硬閾值函數的表達式如下：

其中wi,j為含噪圖像小波系數，T為給定的閾值，H(,?ijw)為經硬閾值函數處理所得的小波系數。

1.3.2 軟閾值函數（Soft Threshold）

軟閾值函數法與硬閾值法類似，也是將絕對值小于給定閾值的系數置零；相反，則將小波系數減去閾值再予以保留。軟閾值函數的表達式如下：

其中wi,j是含噪圖像小波系數，T是給定的閾值，S(,?ijw)是經軟閾值函數處理所得的小波系數sgn(·)是符號函數。

從以上兩種典型去噪算法不難看出，對于硬閾值函數，在閾值處間斷，使得去噪重構圖像產生局部振鈴現象；對于軟閾值函數，存在一個偏差T，導致去噪重構圖像產生偽吉布斯現像，導致圖像模糊失真，降低了視覺效果。

2 改進閾值函數及變化閾值

2.1 逐層變化的閾值

鑒于噪聲與圖像分解系數在小波域分布特性的不同，采用通用閾值會產生“過扼殺”的缺陷，使得隨著分解層數增加圖像有用信息丟失嚴重。對于以上缺點，要求設計閾值時根據圖像和噪聲小波系數的特點，隨著各分解層系數的變化自適應地改變。本文在參考文獻[4，12]方法的基礎上，給出了一種逐層變化閾值：

其中j為分解層數，Tj對應第j層閾值，M、N分別是第j層高頻系數的行和列，σj是噪聲的標準差。Donoho等提出了一種利用噪聲圖像的小波變換系數估計噪聲方差的方法為[13]：

該方法的原理主要基于以下兩點：

（1）經由小波分解所得各層高頻系數中，第一層高頻系數子帶HH主要是噪聲小波系數；

（2）假定{un}由N個相互獨立、零均值、方差為的高斯隨機變量組成，則有：

2.2 改進連續可導閾值函數

本文針對軟、硬閾值函數的固有缺點以及參考文獻[4-5]所用方法，提出了一種改良閾值函數：

考察分段函數：

當 x→ T+時，f(x)→ mT； 當 x→ T-時，f(x)→mT；當x→-T-時，f(x)→-mT，當x→-T+時，f(x)→-mT。所以，f(x)在閾值間斷點T+-處連續，這就克服了硬閾值函數的間斷問題。當|x|→∞時，表明函數f(x)以y=x為漸近線，完善了軟閾值函數存在恒定偏差的問題。此外，當|x|＞T時，f(x)高階可導，便于數學上的后續分析。式（10）中的m＞0，當m=0時，是軟閾值函數的表達式，同時在|wi,j|＜T這個區域是將小波系數按照一定的比例緩慢收縮減小而不是直接置零。這樣處理的結果就是使重構圖像更加平滑，同時極大改善圖像的邊緣模糊程度，使主觀視覺的效果更好。

3 實驗仿真

為了體現本文算法對含噪圖像去噪效果的優越性，選取硬閾值、軟閾值去噪函數和文獻[4-5]方法的去噪效果進行對比。實驗環境為Matlab 7.1，初始圖像選取大小為512×512的lena、Barbara、Peppers灰度圖像。在三幅原始圖像中添加零均值，方差為0.005、0.01、0.02的高斯白噪聲。因為“sym”類小波具有良好的對稱性，所以選用“sym4”小波基對含噪圖像進行3層分解，最后以均方誤差（MSE）與峰值信噪比（PSNR）作為去噪后圖像的客觀評價標準來評價各個算法。

這里給出在噪聲方差為0.02時的去噪效果圖，如圖2、圖3和圖4所示。需要說明的是，本文改進算法在m=0.1時去噪效果最好。

圖2 σ2=0.02時lena圖像去噪效果對比

圖3 σ2=0.02時的Barbara圖像去噪效果對比

圖4 σ2=0.02時的Peppers圖像去噪效果對比

圖 2、 圖 3和 圖 4給 出 了 lena、Barbara、Peppers圖像在方差是0.02的高斯白噪聲時主觀去噪效果對比。雖然以上各種去噪算法都不能完全將圖像中的干擾噪聲消除，但可以看出，尤其圖3的Barbara圖像紋理細節較為豐富，圖像的去噪效果更直觀；本文改進算法對Barbara的細節部分保留更為完整，去噪效果比硬、軟閾值和文獻[4-5]方法，圖片的邊緣細節更加清楚，對噪聲抑制效果更好。

圖2、圖3和圖4給出了主觀視覺評價，而在客觀評價中，常以均方誤差（MSE，如表1所示）與峰值信噪比（PSNR，如表2所示）為標準來評價去噪后的重構圖像質量。均方誤差的公式如下：

式中：xi為初始圖像的第i個像素值，?ix為去噪后圖像的第i個像素值。N為原始圖像的像素數。于是，峰值信噪比為：

需要說明的是，峰值信噪比（PSNR）常用于二值灰度圖像的去噪效果評估。

表1 不同去噪函數去噪后圖像的均方誤差MSE（單位：×10-3）

表2 不同去噪算法去噪后圖像的峰值信噪比PSNR（單位：dB）

由表2和表3可以得出基于本文改進算法去噪后圖像的峰值信噪比相對于硬、軟閾值提高了2～3 dB，對比參考文獻[4-5]算法去噪后圖像峰值信噪比也更高，并且均方誤差值也更小，因此本文改進算法的有效性也得到了充分體現。

4 結 語

本文在研究了小波閾值去噪原理以及經典硬、軟閾值函數的缺陷，并在借鑒一些學者所取得成果的基礎上，提出了一種逐層變化的閾值和改進閾值函數去噪算法。該算法不僅消除了硬、軟閾值函數的固有缺點。實驗結果表明：同時在重構圖像的紋理細節以及邊緣信息保留也更為完整，無論是在主觀方面的視覺效果還是客觀評價圖像去噪效果的峰值信噪比（PSNR）和均方誤差值（MSE）都有較好的提升和改善。

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