QC-LDPC碼構造及其在BICM-ID系統中的應用*

江梓弘，陳曉鵬，周 林,2，賀玉成,2

（1.華僑大學廈門市移動多媒體通信重點實驗室，福建 廈門 361021；2.西安電子科技大學綜合業務網理論及關鍵技術國家重點實驗室，陜西 西安 710000）

0 引 言

低密度奇偶校驗（Low Density Parity Check，LDPC）碼在1962年被首次提出。Gallager在他的文章中定義了LDPC碼的概念[1-2]，指出它具有稀疏的校驗矩陣結構和優異的性能表現，引起了廣泛研究。XiaoYu Hu等人提出了PEG（Progressive Edge Growth）算法用于隨機構造LDPC碼[3]，在給定碼長、碼率和度分布的前提下，通過逐條增加邊，獲得更大的圍長和較少的短環。之后，Tao Tian等人對PEG算法中邊的選取方式進行改進，提出了ACE（Approximate Cycle Extrinsic Message Degree）算法[4]。結構化構造法是工程中實用的構造方法。L.Djurdjevic等人發明了一種利用RS碼構造QCLDPC碼的方法，這種碼具有優異的瀑布區性能和很低的錯誤平層[5]。Shu Lin團隊通過有限域方法構造了一系列具有準循環（Quasi-Cyclic，QC）特性的LDPC碼[6-7]——QC-LDPC碼，能夠有效避免短環，具有較好的性能表現，且其校驗矩陣擁有準循環的特性，在實際應用中具有很大優勢[8]。

編碼調制技術方面，1992年Zehavi提出了比特交織編碼調制（Bit-Interleaved Coded Modulation，BICM）[9]，用于改善衰落信道下的性能表現。該方案中，信息序列在經過編碼后進入一比特交織器，之后再進行調制。這樣可以分別設計編碼器和調制器，靈活性大。同時，由于引入了編碼分集增益，使得漢明距離盡量最大化，明顯改善了衰落信道下的性能。1998年，Caire等人[10]推導證明了BICM系統抗干擾能力主要是由星座中最小歐氏空間調和均值、最小近鄰數以及漢明距離決定的，并完善了BICM系統的理論框架。

1999年，Li等人在BICM的基礎上，在解調器和譯碼器之間引入聯合軟信息迭代，提出了比特交織迭代譯碼編碼調制（Bit-Interleaved Coded Modulation with Interleaved Decoding，BICM-ID）系統[11]，大大改善了系統性能。BICM-ID系統在AWGN、Rayleigh衰落信道下都具有優異的抗干擾能力。理論和實踐均表明，將具有強大糾錯能力的LDPC碼與抗干擾特性強的BICM-ID系統結合，是一種可逼近信道容量的高效編碼調制方案。

本文基于有限域構造法，在一定的約束條件下，通過選取兩個有限域子集構造QC-LDPC碼的基矩陣，保證其Tanner圖中的圍長至少為6或8，并設計了一種簡單有效的掩模矩陣構造法，在矩陣維數較小的情況下，能夠獲得較大的圍長和更少的短環，從而構造出性能優異的QC-LDPC碼。然后，將構造的QC-LDPC碼與BICM-ID系統相結合，對比文獻[12]，給出本文構造的各種碼在AWGN信道、Rayleigh衰落信道下的誤比特率性能，并簡單討論分析解調器和譯碼器迭代次數對本文系統性能的影響。

1 基于有限域子集的QC-LDPC碼構造法

1.1 基矩陣的構造

本文基于文獻[13]中的兩個定理，利用有限域來構造QC-LDPC碼。

定理1：如果矩陣B是QC-LDPC碼的基矩陣，且它的校驗矩陣H是通過基矩陣B循環移位展開獲得的，則該校驗矩陣H相應的Tanner圖圍長最小為6的充分必要條件，是基矩陣B中任取一個2×2大小的子矩陣都是非奇異的或至少包含一個零元素。該約束記為2×2-SM約束。

定理2：如果矩陣B是QC-LDPC碼的基矩陣，且它的校驗矩陣H是通過基矩陣B循環移位展開獲得的，則該校驗矩陣H相應的Tanner圖圍長最小為8的充分必要條件，是基矩陣GF(q)中任取一個2×2或者3×3大小的子矩陣的行列展開式中沒有兩個相同的非零項。該約束記為3×3-SM約束。

根據上面兩個定理，本文利用兩個有限域元素的子集來構造QC-LDPC碼。在有限域GF(q)設α為本原元。當兩個整數k0和n0滿足1≤k0，n0＜q時，令 S1={αi0,αi1,…,αik0-1}、S2={αj0,αj1,…,αjk0-1}為 GF(q)中的兩個元素的子集，其中i,j∈{-1,0,1,…,q-2}，且i0＜i1＜…＜ik0-1，j0＜j1＜…＜jn0-1。于是，可構造如下形式的基矩陣B：

將子集S1和S2中的元素分別帶入式（1），可得到完整的基矩陣B：

根據上述兩個定理，該基矩陣顯然滿足行列約束條件，則構造出來的碼Tanner圖圍長最少是6。

1.2 掩模矩陣的改進

由有限域構造的QC-LDPC碼擁有高度的準循環結構，但因為其中的全零矩陣較少、稀疏性不夠，得到的碼性能不夠優異。為了改善這種情況，采用掩模技術將基矩陣中的一部分非零元素置為0，從而提高校驗矩陣稀疏性。傳統方法中通常使用PEG生成掩模矩陣。該方法在矩陣較大時能得到較好的性能，但當掩模矩陣較小時，最終得到的碼性能往往不佳。針對PEG算法存在的這個缺點，本文根據3×3-SM約束，改進了一種掩模矩陣構造的方法，保證矩陣中任意3×3子矩陣至少有一個零項，使最后得到的碼圍長至少為8。在掩模矩陣維數較小的情況下，本方法能夠很容易地得到具有大圍長且性能較好的碼。

對于有限域GF(q)中的某個基矩陣B(k0,n0)=[Bi,j]0≤i＜k0,0≤j＜n0， 設 有 維 數 相 同 的 矩 陣D(k0,n0)=[di,j]0≤i＜k0,0≤j＜n0，且 D(k0,n0)中的元素只有 0或1。定義如下的運算規則：

當 di,j=1時，di,j×Bi,j=Bi,j； 當 di,j=0時，di,j×Bi,j=0（全零矩陣）。定義D(k0,n0)為掩模矩陣；M(k0,n0)為掩模生成矩陣。經過這種掩模技術得到的矩陣M(k0,n0)密度較之前的基矩陣B(k0,n0)降低了很多，從而保證了稀疏性。

令兩個矩陣y1和y2結構如下：

若基矩陣B(k0,n0)滿足k0和n0都是4的整數倍，則可以構造如下形式的掩模矩陣D(k0,n0)：

觀察掩模矩陣D(k0,n0)易知，經過掩模后生成的矩陣M(k0,n0)的任意3×3大小的子塊，最少包含一個零元素，符合3×3-SM約束。因此，它的Tanner圖的圍長最少是8。

矩陣M(k0,n0)中的每個元素都能夠擴展成(q-1)×(q-1)大小的循環置換矩陣A，每個循環置換矩陣A的移位值就是該元素的冪次。將基矩陣B中的所有元素用相應的循環置換矩陣替換，最終便得到校驗矩陣H。

2 QC-LDPC碼在比特交織迭代譯碼編碼調制系統中的應用

2.1 BICM-ID編碼調制系統

BICM-ID系統的基本組成部分如圖1所示，由LDPC編碼器、交織器、映射器、解映射器、解交織器和LDPC譯碼器等組成。

圖1 BICM-ID系統

將二進制信息序列u=(u0,u1,…,uK-1)輸入LDPC編碼器中，編碼后輸出碼字序列 b′=(b′0,b′1,…,b′N-1)。將輸出的碼字序列送入比特交織器進行交織，得到序列 b=(b0,b1,…,bN-1)。將序列 b=(b0,b1,…,bN-1)通過映射器映射到調制信號星座圖上，得到信號序列s。調制后的信號s通過信道時會存在一些噪聲影響，因此最后接收端獲得的信息y為：

其中，ρ為Rayleigh衰落的衰落因子，且E(ρ2)=1；n是復高斯白噪聲，它的平均值為0，方差是σ2=N0/2ES；ES是信道符號能量，N0是單邊噪聲功率譜密度。在AWGN信道中，ρ=1。

接收端收到受到噪聲干擾的信號y后，進行一系列處理，得到最終的譯碼判決結果u-。接收端的解映射器和譯碼器間采用聯合迭代的方式譯碼。解映射器通過接收信號y和先驗對數似然比，計算解映射器的比特級對數似然比外信息序列，其再經過解交織器后得到序列LDa作為譯碼器輸入；譯碼器譯碼后輸出外信息序列LDe，經交織后反饋回解映射器，作為下一次迭代的先驗對數似然比LMa，然后重新變為先驗信息送進解調器開始下一輪的迭代更新，以增加信息來源的可靠性。初次迭代時，LMa=0。通過反向交織器，譯碼器和解調器之間的信息在每一輪迭代時進行傳遞，增加外賦信息的準確性，從而最終降低錯誤概率。

2.2 解調譯碼方法

軟信息迭代更新在解調和譯碼兩個模塊之間進行。假設進行第t次外部迭代時，對每個比特其先驗信息是相互獨立的。若從信道接收到的信號符號為yk，c表示對應比特序列，L表示比特序列的長度，則解調器的外賦信息可由式（7）計算得到：

譯碼器采用BP譯碼算法，具體步驟如下：

（1）初始化。初次迭代次數k=1，對全部的變量節點vn，計算初始的信道LLR值Lch,n；設是某個校驗節點cm輸出的，令Lch,n。

（2）計算校驗節點。對校驗節點集合B(m)中的某個cm，變量節點vn輸出信息。

（3）計算變量節點。在第k次迭代中，vn更新后驗LLR值和cm輸出。

把該序列和校驗矩陣的轉置HT做乘法，獲得伴隨式Sk。若Sk=0，則譯碼正確，直接輸出判決后的序列；若Sk≠0，則譯碼不正確，迭代次數加1，開始新一輪的迭代，直到Sk=0。若達到預先設定的迭代次數時Sk≠0，則譯碼失敗。

2.3 仿真結果

本文搭建BICM-ID系統模型，采用本文構造的（1 524，762）和（4 088，2 044）QC-LDPC碼作為信道編碼，與文獻[12]中由PEG算法構造的（5 310，2 655）非規則LDPC碼進行性能對比，結果如圖2所示。本仿真在AWGN信道下進行，LDPC譯碼器最大內迭代次數設為20次，外迭代次數設為1次，調制方式為16-QAM和64-QAM，星座圖均采用Gray映射，LDPC譯碼器采用標準和積譯碼算法。

圖2 AWGN信道下誤碼率曲線對比

如圖2所示，本文構造的QC-LDPC碼誤碼率性能表現更加優異，（1 524，762）和（4 088，2 044）QC-LDPC碼對比（5 310，2 655）非規則LDPC碼，在16-QAM調制下，當誤碼率達到10-4時，前者性能改善約3 dB，后者性能改善約4 dB；在64-QAM調制下，當誤碼率達到10-5時，前者性能改善約3.2 dB，后者性能改善約4.5 dB。

采用本文構造的（1 524，762）和（4 088，2 044）兩種QC-LDPC碼，結合QPSK、16-QAM和64-QAM三種調制方式，在Rayleigh衰落信道下進行仿真。LDPC譯碼器最大內迭代次數設為10次，外迭代次數設為5次，采用和積譯碼算法，其性能表現如圖3所示。可以看出，在Rayleigh衰落信道下，本文構造的QC-LDPC碼有著優異的BER性能，且隨著碼長的增加，其抗衰落性能有更大的改善。

圖3 Rayleigh衰落信道下不同調制方式的誤碼率曲線對比

采用本文構造（1 524，762）和（4 088，2 044）兩種QC-LDPC碼，結合16-QAM調制方式，在Rayleigh衰落信道下進行仿真。LDPC譯碼器最大內迭代次數分別設為10次和30次，外迭代次數分別設為1次、5次，采用和積譯碼算法，其性能表現如圖4所示。可以看出，碼長和碼率不變的情況下，最大內迭代次數不變，隨著外迭代次數的增加，誤碼率性能提高。同理，外迭代次數不變，隨著最大內迭代次數的增加，誤碼率性能提高。究其原因，在于增加LDPC碼譯碼的內部迭代次數，使得LDPC碼的譯碼算法產生的外信息可靠性提高，從而有效減少了錯誤傳播，且通過增加解調器與LDPC碼之間信息交換進行的外部迭代次數，能夠進一步提高系統性能。

圖4 Rayleigh衰落信道下不同迭代次數的誤碼率曲線對比

3 結 語

本文在有限域基礎上，設計了一種基于有限域子集的QC-LDPC碼構造方法，同時針對PEG算法在構造維數較小的掩模矩陣時最終獲得的碼性能不好的缺陷，改進了一種簡單有效的掩模矩陣構造法。在BICM-ID系統的基礎上，結合幾種調制方式，得到了不同碼長的QC-LDPC碼在不同信道下的誤碼率曲線。仿真結果表明，本文構造的QC-LDPC碼在AWGN信道和Rayleigh衰落信道下的誤碼率性能表現優異。它在AWGN信道下通過不同調制方式，表現的誤碼率性能均優于傳統方法。當誤碼率達到10-5時，最大性能改善達4.5 dB。此外，QC-LDPC碼的校驗矩陣擁有準循環特性，在實際應用中具有明顯優勢。

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