不確定線性時滯切換系統魯棒H∞濾波設計

劉玉忠, 馮 巖(沈陽師范大學 數學與系統科學學院, 沈陽 110034)

0 引 言

切換系統作為一類重要的混雜動力系統,是由一系列連續(離散)時間子系統以及決定子系統間如何切換的規則組成。隨著科學和工程技術的快速發展,對于切換系統的H∞濾波設計,已經引起了國內外學者的普遍關注,在通訊、電力、環境、機械控制和系統工程以及航空航天等多個領域都具有極其廣泛的應用,因此成為研究的熱點問題。在實際切換系統中,描述系統的模型很難直接被設計,為了方便解決就需要簡化模型,所以模型本身帶有很多的參數不確定性和非線性動態。切換系統不但需要考慮無干擾的工作狀態下的控制切換性能,還需要考慮處理相關的噪音干擾時滯等情況。

近些年,對于模型的魯棒故障分析,特別是切換系統的魯棒H∞故障診斷濾波器設計問題,引起了更多學者的興趣,并取得了豐碩的研究成果[1-5]。對于范數有界參數不確定的情況,文獻[6]給出了基于Riccati方程的設計,是早期研究參數不確定魯棒分析的處理方法。但在實施此方法之前,需要提前確定好一些待定參數,這些參數直接影響結果的好壞,也會影響結果的可解性,并且缺少尋求其參數最佳值的辦法。文獻[7]提出狀態觀測器設計問題,但沒有考慮參數不確定性。文獻[8]給出了基于LMI的研究辦法,但沒有直接應用于時滯切換系統。文獻[9]就參數不確定性給出Kalam濾波器設計。但對于Kalam濾波器的設計方法,當運動目標長時間被遮擋時會存在目標跟蹤丟失的情況。關于時滯切換系統的魯棒H∞濾波問題,文獻[10-11]研究了濾波器的LMI設計方法,得出結論推廣到非線性擾動的情況。切換系統動態行為更加的復雜,由于存在干擾時滯以及不確定性,對于時滯切換系統將設計濾波器對其改善與研究。本文就同時帶有不確定性和線性時滯的切換系統,給出魯棒H∞濾波設計。應用Lyapunov方法,采取線性矩陣不等式方法獲得系統穩定的充分條件,并利用積分不等式方法,直接解決在處理二重積分時出現的計算問題,使得增廣濾波誤差切換系統穩定,且具有H∞性能水平。

1 問題描述及預備工作

考慮如下參數不確定的線性切換系統

(1)

其中:Ai,Adi,Bi,Hi,EAi,EAdi,EBi是已知適維矩陣;Hi,EAi,EAdi,EBi是切換系統中的不確定參數對切換系統模型的影響,代表了不確定切換系統的不確定性結構。

Fi(t)是具有李普希茲可測元的未知不確定矩陣,并且滿足范數有界條件:

?t≥0,i∈N

設計濾波器時,總是假定切換系統(1)漸近穩定的,而且不確定結構適用廣泛。由此來設計如下的具有H∞性能的濾波器:

(2)

(3)

對應其濾波誤差系統矩陣分別為

引理1[11]假設a(·)∈Rna,b(·)∈Rnb,N(·)∈Rna×nb時間間隔為Ω,對于任意矩陣X∈Rna×na,Y∈Rna×nb,Z∈Rnb×nb,則下列式子成立:

1)S<0;

定義若對給定標量γ>0系統滿足‖e(t)‖2≤γ‖w(t)‖2,?w(t)∈L2[t0,∞)則稱濾波誤差系統(6)穩定且具有H∞性能水平γ。

2 主要結果

首先給出系統的穩定性和滿足系統線性矩陣不等式H∞性能的充分條件,這是后文設計濾波器的前提,然后來證明系統滿足H∞性能指標。

2.1 濾波誤差系統的穩定性和H∞性能分析

定理1 對于切換系統,若存在對稱正定矩陣Pi,Q,X,Z和矩陣Y,有

(4)

證明 對于第i個子系統,選取適當的Lyapunov函數Vi=V(x1(t))+V(x2(t))+V(x3(t))。其中

Vi2關于時間t的導數為

(6)

Vi3關于時間t的導數為

其中

(9)

則濾波誤差系統穩定并具有魯棒H∞性能水平γ

證明 因

定義

(10)

現在對切換系統進行時間t的分割,在零初始條件同樣滿足,即

所以:

即

因此

所以‖ze(t)‖≤γ‖w(t)‖,因此能保證濾波誤差系統(3)穩定并滿足給定的H∞性能指標。

2.2 魯棒H∞濾波器設計

本節中,根據定理1的濾波誤差系統具有H∞性能指標的穩定條件,提出切換系統的魯棒H∞濾波器設計方法。

(11)

其中

則存在如(2)的切換系統濾波器以及濾波誤差系統(3)具有魯棒H∞性能γ并且是漸近穩定的。

其中P11i∈Rn×n,S11i∈Rn×n。

令

整理矩陣得

(12)

其中

根據假設1,式(12)可以轉化為

(14)

其中:

令

ΔTi=ΔTi1+ΔTi2+ΔT13+ΔT14+ΔT15+ΔT16,

根據假設1,處理不確定項可以得ΔTi1,ΔTi2,ΔT13,ΔT14,ΔT15,ΔT16,分別為

由引理3可知

進一步可解得

定理3證畢。

3 結 論

本文研究了一類具有不確定時滯的切換系統的穩定性,并對其設計了H∞濾波器問題。通過設計狀態濾波器,選取適當的Lyapunov函數對轉換后的系統進行研究,并采取LMI方法獲得系統穩定性的充分條件,并且使得不確定線性時滯切換系統具有H∞性能水平。

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