MATLAB在《復變函數與積分變換》中的應用

周后卿+徐幼專

摘要：《復變函數與積分變換 》是工科類學生的一門重要基礎課，既是《高等數學》的后續課程，也是學習其他專業課程的有力工具。該文探討如何應用MATLAB輔助《復變函數與積分變換》教學的問題。

關鍵詞：復變函數與積分變換；MATLAB；應用

中圖分類號：G642.0 文獻標識碼：A 文章編號：1009-3044（2018）04-0089-03

計算機輔助教學在大學數學教學中越來越普遍，利用MATLAB軟件，已成為教師的首選。MATLAB憑借強大的符號運算、大量的函數以及統計、最優化、偏微分方程數值解等工具箱，已經成為運籌學、多元統計、時間序列分析、數字信號處理、動態系統仿真、圖像處理、自動控制理論等課程教學中的必備教學工具，深受師生的喜歡和信賴。在《復變函數與積分逆變換》課程教學中，MATLAB也大有可為，許多內容都可以用到這個軟件。我們通過一些實例，闡述MATLAB在這門課程中的應用。通過運用這個軟件，達到降低內容難度，提振學生學習的士氣，幫助學生加深、了解、掌握知識點，培養學生運用軟件解決問題的能力。

1 利用MATLAB作圖

我們知道，MATLAB提供了強大的圖形處理和編輯功能，能夠將經過數據處理、運算和分析后的結果通過圖形的方式直觀地進行表示。作圖的原理是先計算離散自變量上對應的函數值，然后將這些點描繪出來；對于連續函數的話，則可以通過微分思想來進行，即不斷減小離散點的間隔后，繪制這些數據。通過MATLAB作圖，直觀反映函數，把復雜問題簡單化，學生容易接受與理解。例如，在實數域中，對于實變量函數，不妨設正弦函數，它是一個一元函數，它的圖形是一條曲線（見圖1）。代碼如下：

x=0：0.01：2*pi；

y=sin（x）；

plot（x，y， 'r'） 紅顏色用“r”表示。

對這個圖形，學生很熟悉。但是，在復數域中，對于復變量函數的圖像，到底是啥樣？學生不清楚；特別是說不成立，學生更不清楚。為了形象說明這一性質，我們借助MATLAB，就很容易畫出它的圖形（見圖2）。用Z軸表示sinz的模，作出|sinz| 的圖像，其MATLAB程序如下：

x=[0：pi/5：7*pi]，

[x，y]=meshgrid（x），

z= x+i*y，

u=sin（z），

surf（x，y，abs（u））

學生通過觀看圖像，就容易區分它們之間的差異，也就能明白一定條件下了。

2 MATLAB在復變函數與積分變換計算中的應用

MATLAB在復變函數與實變函數中的計算有著相似之處，不管自變量是實數還是復數，都是將自變量的值直接代入函數表達式中去計算。可以利用MATLAB對一個復常數進行基本的求模，求幅角，求實部、虛部的運算。更進一步地，還可以求復數的指數、對數，對復數進行三角運算，舉幾個例子加以說明。

例1 求下列復數的實部，虛部，共軛復數，輻角，模

，，。

解 代碼如下：

z=[（（1-i）/（1+i））.^7； i/（1-i）+（1-i）/I； i.^18]，

real（z）， % 求復數的實部

imag（z）， % 求復數的虛部

conj（z）， % 求復數的共軛復數

angle（z）， % 求復數的輻角

abs（z）， % 求復數的模

運算的結果：

z =

0+1.0000i

-1.5000-0.5000i

-1.0000

ans =

0

-1.5000

-1.0000

ans =

1.0000

-0.5000

0

ans =

0-1.0000i

-1.5000+0.5000i

-1.0000

ans =

1.5708

-2.8198

3.1416

ans =

1.0000

1.5811

1.0000

用MATLAB計算優勢在于能夠對多個復數同時進行計算，不用單獨一個一個地去求。

例2 求方程的解。

解法一（常規解法）將代數式化為三角式，原方程為。所以，的三次方根為： ，也即

。

解法二（用MATLAB計算）

代碼如下：

roots=solve（'z^3+1=0'），

運算結果：

roots =

-1

1/2+（3^（1/2）*i）/2

1/2-（3^（1/2）*i）/2

用MATLAB計算顯得非常簡單。

如果先將方程寫成冪的形式：，這是一個多值函數，那么，MATLAB僅僅對其主值（k=0時）進行計算。

解法三 代碼如下：

（-1）^（1/3）

結果顯示；

ans =0.5000+0.8660i。

由此看出，利用這個方法，只能得到一個答案。所以，一般不選擇此類解法。

我們都知道，MATLAB除了簡單的加、減、乘、除、乘方、開方運算外，還有更強大的計算功能，如微積分運算。首先，用MATLAB來極限，舉例如下。

例3 求極限 。

解 代碼如下：

syms z，f=z/sin（z），limit（f，z，0），

運算結果：

f=z/sin（z），ans=1，

即 。

其次，還可用MATLAB求復變函數的導數，例如：

例4 求函數的導數。

解 代碼如下：

syms z，f=z/（（1+z）*sin（z）），diff（f），

運算結果：

f =z/（sin（z）*（z+1）），

ans =

1/（sin（z）*（z+1））-z/（sin（z）*（z+1）^2）-（z*cos（z））/（sin（z）^2*（z+1）），

也即，。

用MATLAB求復變函數的定積分，在形式上與實變函數的定積分相同，只是積分限由實數變成復數而已。格式為：int（function，variable，a，b），其中，function為函數表達式，variable為積分變量，a，b分別為積分下限、上限。

例5 計算定積分 。

解 代碼如下：

syms z，f=z*cos（z），inf=int（f，z，0，i），

結果顯示：

f=z*cos（z），inf=1/exp（1）-1，

即。

3 MATLAB在級數展開中的應用

一個函數在一個區域內解析，那么這個函數在這個區域內就能展開成泰勒級數，這是復變函數的一個重要內容，也是學生感到困難的地方。利用MATLAB，我們就很容易掌握函數在一點展開成級數的方法。具體格式為F=taylor（f，n，variable，a）， taylor表示泰勒級數，n表示展開式的項數，variable表示變量， a表示在這點展開。

例6 將函數 展開成泰勒級數。

分析： 如果沒有特別說明，將函數在哪一點展開泰勒級數，一般是默認為在原點把函數展開成麥克勞林級數，當然，前提是函數在原點要解析。所以，這里就是在處展開。

解 代碼如下：

syms z，f=1/（1+z）^2，F=taylor（f，10，z，0），

運算結果顯示：

f=1/（z+1）^2，

F=-10*z^9+9*z^8-8*z^7+7*z^6-6*z^5+5*z^4-4*z^3+3*z^2-2*z+1，

即 。

4 MATLAB在留數計算中的應用

利用MATLAB計算留數問題，將復雜繁瑣的計算交由計算機處理，使運算變得簡單快捷，能充分調動學生學習積極性、創造性。對于形如函數（均為的多項式）在孤立奇點處的留數，其留數格式為[r，p]=residue（B，A），其中，r表示留數，p表示極點；B、A分別表示函數的系數組成的行向量。在計算時，只需寫residue（B，A）即可。

例7 求函數在孤立奇點處的留數。

解 首先寫出分子、分母兩個多項式的系數向量，然后再去求residue（B，A）。代碼如下：

B=[1，11，39，52，26]，A=[1，10，35，50，24]，[r，p]=residue（B，A），

運算結果顯示：

B =1 11 39 52 26

A =1 10 35 50 24

r = p=

1.0000 -4.0000

2.5000 -3.0000

-3.0000 -2.0000

0.5000 -1.0000

也即，當極點p=-4時，留數r=1，余下類推。

若函數的形式不是有理分式時，只能先判斷的極點重數，然后根據公式

來求，這里、分別表示極點、極點重數。它的MATLAB格式如下：

，這里，prod（1：m-1）表示1到m-1連乘積。

例8 求函數在的留數。

解 首先判斷是函數的三重極點，即。寫出計算留數的MATLAB格式：

limit（diff（sym（'z^3*（1-exp（z））/z^4'），'z'，2）/prod（1：2），'z'，0）。

運算顯示： ans=-1/6，即函數在的留數為。

5 MATLAB在傅里葉變換中的應用

傅里葉變換是積分變換的重要內容之一，也是難點之一，利用MATLAB可以輕松化解難點。我們知道，傅里葉變換的公式為；那么利用MATLAB求傅里葉變換的格式為F=fourier（Fun，t，w），即將t的函數變成w的函數。

例9 求函數的傅里葉變換。

解 代碼如下：

syms t w，ft=sin（2*t），F=sym（fourier（ft，t，w））。

顯示如下

ft=sin（2*t），

F=-pi*（dirac（w-2）-dirac（w+2））*i，

即 。

傅里葉逆變換的公式為 。在MATLAB中使用ifourier函數來實現逆變換，格式如下：f=ifourier（Fw，w，t），默認w為獨立變量，默認返回函數是以x為自變量的函數。

例10 求函數的傅里葉逆變換。

解 代碼如下：

syms w，F=sin（w）/w， f=simple（ifourier（F）），

運行后顯示：

F=sin（w）/w，

f=heaviside（x+1）/2-heaviside（x-1）/2，這里，heaviside表示單位階躍函數。

即 。

6 MATLAB在拉普拉斯變換中的應用

積分變換中有兩個常用的變換，拉普拉斯變換就是其中一個。由于拉普拉斯變換在專業課程、在工程技術中有著廣泛的應用，因此熟練掌握MATLAB方法，用它解決一些拉普拉斯變換問題顯得十分有意義。

求時域函數f（t）的laplace變換F（s），格式為 F=laplace（f，t，s）。

設F是s的函數，參數s省略，返回結果F默認為s的函數；f為t的函數，當參數t省略，默認自由變量為t。

例11 求函數的拉普拉斯變換。

解 代碼如下：

syms t s a b， f=exp（（-a）*t）*sin（b*t），F=laplace（f，t，s），

運行后顯示：

f=sin（b*t）/exp（a*t），

F=b/（（a+s）^2+b^2），

即 。

對于拉普拉斯逆變換，常用的方法是留數法，部分分式法（即先將函數分解成一些簡單的式子，然后再反求），查表法等等。如果借助MATLAB，根本就不需記憶這么多，很容易求出逆變換，格式為 f=simple（ilaplace（F）），對于f默認t為自變量；對于F，默認s為自變量。

例12求的拉普拉斯逆變換。

解 代碼如下：

syms t s， F=1/（（s+1）*s^2），f=simple（ilaplace（F）），

運行后顯示：

F=1/（s^2*（s+1）），

f=t+1/exp（t）-1，

即 。

7 結束語

在《復變函數與積分變換》教學中，將 Matlab 軟件引入課堂教學，利用Matlab軟件在繪圖和計算方面的優勢，可以將抽象復雜的學習內容，用可視化、動態化的形式 直觀地表現出來，以促進學生對知識深入理解；同時還可以簡化繁瑣的計算

過程，讓學生有更多時間和精力去體會和掌握課程的精髓，激發學生的學習興趣，讓數學學習變得生動有趣。通過上面一些具體例子，我們可以看出， MATLAB對學習確實有很大幫助，利用它能夠解決很多計算問題，作圖問題；能夠化難為易，原來難以理解的問題變得迎刃而解。

參考文獻：

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