分類討論思想在高中數學解題中的應用

四川省貿易學校 史雪梅

分類討論思想在高中數學解題中的應用可以有效弱化問題難度，對培養學生數學思維具有幫助。高中數學比較抽象，學生理解起來有難度，而在解題教學中應用分類討論思想，能夠為學生提供更為清晰的解題思路，有助于提升解題效率。

一、分類討論思想概述

1．定義

分類討論思想又稱為“邏輯化分思想”，它是將所有研究的數學對象劃分成若干個不同的主體，隨后依據多個主體逐一解析與求解的數學思想。分類討論思想在高考中占據非常重要的地位，相關數學問題具備較強的邏輯性與探究性，難度比較大，涉獵多種數學題型，可以說是無孔不入。

2．意義

基于分類討論思想的解題指導，學生的解題思維能力將得到全面提升。因為高中數學知識比較抽象，不易理解，解題難度對于學生而言比較大，所以借助分類討論思想的應用，能夠幫助學生準確把握數學關系，對培養學生邏輯思維具有幫助。由此可見，分類討論思想在數學解題教學中十分關鍵，教師需要予以重視。

二、分類討論常見類型

其一，由數學概念引起的分類討論：部分數學概念自身是分類的，如絕對值、指數函數、直線斜率、對數函數等。

其二，由性質、公式、定理的限制引發的分類討論：部分數學定理、計算公式、數學性質是分類給出的，在條件不一致的情況下，需要進行分類討論，如等比數列的前n項和公式、函數單調性等。

其三，由數學計算要求引發的分類討論：如除法運算中除數不為零、偶次方根為非負、指數運算中底數的要求、對數真數與底數的要求、不等式兩邊同乘以一個正數、復數及三角函數的定義域等。

其四，由圖形的變化引起的分類討論：部分圖形的類型、位置等需要進一步分類；角的終邊所在象限；點線面的位置關系等。

其五，由參數變化引起的分類討論：某些含有參數的問題，如含參數的方程、不等式，由于不同參數值要使用不同的求解或證明方法等。

三、分類討論思想在高中數學解題中的具體應用

1．函數方面

將分類討論思想應用于函數問題中，需要事先對函數中涉及的參數進行分類討論，在學生能夠從多個研究視角解析問題時，再對問題條件進行深度剖析，有效提升解題效率。

例 1 已知函數f（x）=x|x2-a|，a∈R。 當a=3 時，求函數f（x）在區間[0，b]上的最大值。0。當-＜x＜ 時，f′（x）=3-3x2=-3（x-1）（x+1）。 當 -1＜x＜1時，f′（x）＞0； 當-＜x＜-1或1＜x＜ 時，f（x）＜0。 所以f（x）的單調遞增區間是+∞）；f（x）的單調遞減區間是

由區間定義可知，b＞0。（1）若0＜b≤1時，則[0，b]∈[-1，1]，因此函數f（x）在[0，b]上是增函數， ∴當x=b時，f（x）有最大值f（b）=3b-b3。（2）若1上單調遞增，在[1，b]上單調遞減，因此，在x=1時取到極大值f（1）=2，并且該極大值就是函數f（x）在區間[0，b]上的最大值。 ∴當x=1時，f（x）有最大值2。f（x）=3x-x3在[0，1]上單調遞增，在上單調遞減， 因此，在x=1時取到極大值f（1）=2，在上單調遞增，在x=b時，f（x）有最大值f（b）=b3-3b?！?，（b+1）2（b-2）≤0，b≤ 2。 ∴當時，f（x）取到最大值f（1）=2。②當f（1）＜f（b），解得b＞2，∴當b＞2時，f（x）在x=b時取到最大值f（b）=b3-3b。

綜上所述，函數y=f（x）在區間[0，b]上的最大值為

2．數列方面

利用分類討論思想解決數學數列方面的問題時，需要重點討論數列周期性問題，逐一求證各項問題。在學生解題遇到困難時，教師需要給予適當的思路引導，使學生巧妙使用分類討論解題問題，從而不斷增強解題能力。

例2 已知數列{an}滿足a1=5，a2=5，an+1=an+6an-1（n∈N＊，n≤2），若數列{an+1+λan}是等比數列， 已知k為奇數時，求證：

除了上述內容之外，分類討論思想還可以解答概率、幾何等問題，教師需要提高對其的重視，在日常教學中有意識地引導學生使用該方法，配合教師的教育指導，從而不斷提升學生的數學解題能力。

[1]徐玲玲．分類討論思想在高中數學解題中的應用研究[J]．中華少年，2017（13）：137-138．

[2]沈淼楠．分類討論思想在高中數學解題中的應用[J]．課程教育研究，2017（12）：146-147．