利用二次函數解決生活中的實際問題

胡至袆

【摘要】二次函數是解決實際問題的一種重要方法，可應用于日常生活中。本文結合經濟、運動等生活中的多種實際情況進行設問，提出解決方案。熟練掌握二次函數的各類典型范式和基本的解題思路，既可幫助解二次函數數學應用題，又可應用于生活實際中。

【關鍵詞】二次函數 應用 實際問題

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）02-0117-02

1.最值問題

二次函數由于其本身的數學特性，最廣泛地用于實際生活中的最值和極值問題。此類問題的分布面很廣，比如在經濟生活中的最大利潤計算問題。因此就需要針對不同的方案選擇能夠使得利益達到最大化的經濟策略，下面的這道例題就是這類典型問題。

一家服裝店以每件60元的價格進購一批女裝，以單價80元出售，每月可銷售300件。但市場調查表明，當定價每件上漲1元時，該服裝的月銷售量就減少10件。問：

（1）該女裝每月的銷售利潤與上漲單價之間的函數關系是怎樣的？

（2）要取得每月最大利潤，需要將每件女裝的單價定為多少？月利潤最大多少？

解題思路：這道題通過實際經濟生活情景抽象出函數關系式，需要運用二次函數的頂點式，求出最值，解決最值問題。

解題關鍵：找等量關系，即利潤=（定價-進價）×銷售量。

列表分析：設女裝的定價每件上漲（x）元，銷售月利潤（y）元。

根據分析列函數關系式：y=（20+x）（300-10x）

化簡得：y=-10x2+100x+6000

轉化為頂點式即可。

解：（1）設每月售出女裝的利潤為y（元），每月單價上漲x（元），建立函數關系，化簡得到 y=（20+x）（300-10x），化簡得：y= -10x2+100x+6000

（2）由上一問解，化為二次函數頂點式 y=-10x2+100x+6000=-10（x-5）2+6250

所以當x=5時，y取最大值6250，即當每件女裝定價為85元時，每月的銷售利潤是最大的，為6250元。

說明：這一類求最值問題的解題思路都是類似的，關鍵要注意兩點，一點是設函數時要明白哪些量設為自變量，哪些量設為因變量（函數）；其次就是在求解的時候用配方法或者最值公式等進行求解，而不是簡單的“解方程”。

2.運動問題

運動問題是直接運用二次函數直觀特性的一類問題，它的特點是能夠將二次函數在生活中更好地呈現出來，這一類問題的常見考察形式有投籃、射門、鉛球、跳水問題等等。以下面這道題為例：

一座拱橋的形狀為拋物線形，拱橋高度為6米，跨度為20米，拱橋下的相鄰兩根支柱間的距離是5米。問（1）把該拱橋拋物線放在如下的直角坐標系中，求拋物線的解析式；（2）求支柱EF的高度；（3）假設拱橋下是地面上的雙向車道（中間有寬2米的綠化帶），其中一條行車道能否允許3輛寬為2米，高為3米的汽車并排行駛（汽車的間距可忽略不計）？請說明理由。

解題思路：首先把題干中給出的文字信息放在坐標系中，把關鍵點的位置轉化為坐標值，并根據已知的“拋物線形”設拋物線的解析式，把關鍵點的坐標代入，求出函數解析式。后兩問都是根據解析式來代入求解。

解：（1）根據條件得出點A，B，C的坐標為A（-10， 0），B（10， 0），C（0， 6）。設拋物線解析式為y=ax2+c，代入B，C坐標，解得a=-3/50，c=6，代入解析式，整理得拋物線的表達式 y=-3/50x2+6

（2）設F（5，y），代入拋物線解析式得F點坐標為（5， 4.5），EF高度為10-4.5=5.5米。

（3）設隔離帶寬為DN，則三輛汽車的寬度之和為NG，G點坐標為（7，0）。過G做GH垂直于AB交拋物線于H點，代入解析式，得出H點高度約為3.06米，大于3米。故可以允許三輛汽車并排通過。

說明：這類問題是關于二次函數應用較為簡單的問題，主要需要注意的就是要先求解出正確的函數解析式，并且利用求得的解析式進行第二、三步的解答。難點通常集中于把題目中的實際現實情況轉化為函數中的值，并且函數的表達形式也很關鍵。一般的二次函數有三種表達形式：一般式、頂點式和交點式，根據不同條件可以靈活選擇函數形式。

3.總結

通過應用題的形式不僅能夠提高對二次函數方面知識的掌握程度，還能夠增強應用能力和實踐能力。本文中舉的幾個例子僅僅是一個方面，二次函數的實際應用能夠體現在生活的各個角落。關鍵在于熟練掌握二次函數的基本范式和此類問題的解決思路，題目總是萬變不離其宗，掌握了方法，問題即可迎刃而解。

參考文獻：

[1]李永生.利用二次函數解決實際問題[J].理科考試研究， 2014， 21（20）：6-6.