從電磁學(xué)發(fā)展過(guò)程看麥克斯韋方程組的對(duì)稱性

鄧衛(wèi)鵬

(陽(yáng)泉師范高等專科學(xué)校 基礎(chǔ)部，山西 陽(yáng)泉 045000)

麥克斯韋方程組的創(chuàng)建流程及未來(lái)的開(kāi)發(fā)態(tài)勢(shì)，均和有關(guān)物理理論思維與物理方程形式的對(duì)稱特性緊密相關(guān)，這個(gè)流程兼有唯象和抽象的特征，這兩種特征現(xiàn)象彼此交替產(chǎn)生.奧斯特于公元1820年發(fā)現(xiàn)電流周圍能夠產(chǎn)生磁場(chǎng).根據(jù)對(duì)稱性的思維方式，磁場(chǎng)亦可形成電流.該理論的提出實(shí)際上具有唯象性，法拉第最終通過(guò)實(shí)驗(yàn)證實(shí)了該推斷.按照法拉第電磁感應(yīng)定律：變化的磁場(chǎng)方能夠讓導(dǎo)體形成電流.大量實(shí)驗(yàn)也證明了靜態(tài)的磁場(chǎng)不能使導(dǎo)體中形成電流.麥克斯韋認(rèn)為，變化的磁場(chǎng)之所以能夠使導(dǎo)體中形成電流，是因?yàn)樽兓拇艌?chǎng)可以形成渦旋型電場(chǎng)，利用對(duì)稱性這種抽象思維模式，大膽推測(cè)變換的電場(chǎng)亦可形成磁場(chǎng)即位移電流假說(shuō).麥克斯韋方程組的積分形式為

(1)

(2)

其中,

(3)

關(guān)于麥克斯韋方程組的微分表達(dá)式，我們可以通過(guò)使用高斯公式與斯托克斯公式二者結(jié)合獲得公式(4)[1，2].

(4)

而麥克斯韋方程組的邊值表達(dá)式為[3]

(5)

通過(guò)這些公式發(fā)現(xiàn)，關(guān)于麥克斯韋方程組的表述形式具有對(duì)稱性，被譽(yù)為“美學(xué)上真正完美的對(duì)稱形式”[4-6].然而應(yīng)當(dāng)注意，麥克斯韋方程組并沒(méi)有絕對(duì)的對(duì)稱性，由于電場(chǎng)內(nèi)具有自由電荷，但是磁場(chǎng)內(nèi)并沒(méi)有自由磁荷(磁單極子).如果存在磁單極子，則麥克斯韋方程組才能真正變得高度對(duì)稱.很多物理學(xué)家在此類對(duì)稱性理論的引導(dǎo)下，堅(jiān)決認(rèn)為麥克斯韋方程組的最終模式應(yīng)當(dāng)具有高度的對(duì)稱特性，盡管目前并未發(fā)現(xiàn)磁單極子，然而這并不能說(shuō)明它一定不存在，何況按照狄拉克的相關(guān)理論，應(yīng)當(dāng)具有磁單極子，因此，物理學(xué)家對(duì)于磁單極子的探尋始終在進(jìn)行.不過(guò)同樣也有人認(rèn)為物理領(lǐng)域講的對(duì)稱特性是相對(duì)的，不對(duì)稱才是絕對(duì)的.

文章依次從靜態(tài)與時(shí)變這兩種類型的電磁場(chǎng)著手分析關(guān)于麥克斯韋方程組具有的對(duì)稱性，進(jìn)而深化對(duì)于電磁基本理論的認(rèn)識(shí).

1 靜態(tài)電磁場(chǎng)

靜態(tài)電磁場(chǎng)是電磁場(chǎng)的一類特殊形式，其場(chǎng)源不隨時(shí)間而變化，所以其產(chǎn)生的場(chǎng)同樣不隨時(shí)間而發(fā)生改變，在這種條件下，電場(chǎng)與磁場(chǎng)各自獨(dú)立出現(xiàn).

1.1 靜電場(chǎng)

靜電場(chǎng)是指靜止的且電荷量保持恒定的電荷激發(fā)的不隨時(shí)間變化的一類靜態(tài)場(chǎng).靜電場(chǎng)中并列存在的兩個(gè)核心定理分別是靜電場(chǎng)的高斯定理與環(huán)路定理.

靜電場(chǎng)的高斯定理[1]在真空環(huán)境下，靜電場(chǎng)內(nèi)任意一個(gè)閉合曲面中的電通量其實(shí)就是曲面中電荷的代數(shù)和除以ε0，也就是(6)式，其中，q表示閉合曲面S所包圍起來(lái)的自由電荷.對(duì)于有介質(zhì)的情形，我們引入一個(gè)輔助性的矢量電位移矢量D，見(jiàn)(7)式(P為極化強(qiáng)度，χ為介質(zhì)的極化率，ε(見(jiàn)(8)式)為絕對(duì)介電常數(shù))，可以得到(9)式，化簡(jiǎn)即可得(10)式，把(7)式代入(10)式，可以得出(11)式，此式稱為有介質(zhì)存在的高斯定理.由(11)式，按照高斯公式，能夠獲得靜電場(chǎng)的散度表達(dá)式(12)式.該式子表明，靜電場(chǎng)具有發(fā)散特性，電荷所處的地方就是靜電場(chǎng)的源頭.

(6)

D=ε0E庫(kù)+P=ε0(1+x)E庫(kù)=εE庫(kù),

(7)

其中，

ε=ε0(1+x).

(8)

(9)

(10)

(11)

▽·D=ρe.

(12)

靜電場(chǎng)的環(huán)路定理[1]靜電場(chǎng)強(qiáng)沿著任意一條閉合曲線的環(huán)路積分等于零，即(13)式

(13)

1.2 恒定磁場(chǎng)(恒定電流產(chǎn)生的磁場(chǎng))

磁場(chǎng)的“高斯定理”[1]在穩(wěn)恒電流磁場(chǎng)中，通過(guò)任何閉合曲面S的磁通量恒定為零，也就是(14)式.該式表明，電流磁場(chǎng)屬于無(wú)散場(chǎng)；而靜電場(chǎng)具有發(fā)散性，電荷所處的地方則是靜電場(chǎng)的源頭.磁感應(yīng)線和電場(chǎng)線也有區(qū)別：電場(chǎng)線始于正電荷終于負(fù)電荷，或始于正電荷終于無(wú)窮遠(yuǎn)，或始于無(wú)窮遠(yuǎn)終于負(fù)電荷；而磁感應(yīng)線具有持續(xù)性，它可以處于閉合狀態(tài)，也可以從無(wú)限遠(yuǎn)的位置開(kāi)始，于無(wú)限遠(yuǎn)的位置結(jié)束.由(14)式，按照高斯公式，能夠獲得關(guān)于恒定磁場(chǎng)的散度表達(dá)式(15)式.此式說(shuō)明，穩(wěn)恒磁場(chǎng)實(shí)際上屬于一個(gè)沒(méi)有通量源的矢量場(chǎng).

(14)

▽·B=0.

(15)

安培環(huán)路定理[1]在真空環(huán)境下，磁感應(yīng)強(qiáng)度B沿著任意閉合環(huán)路L所產(chǎn)生的線積分(環(huán)流)，等于穿越這一環(huán)路的全部電流強(qiáng)度的代數(shù)和I的μ0倍，見(jiàn)(16)式.如果有磁介質(zhì)出現(xiàn)，安培環(huán)路定理表達(dá)式即為(17)式(其中，I0、I′分別表示穿越L的傳導(dǎo)電流和磁化電流的強(qiáng)度).引入物理量磁化強(qiáng)度M進(jìn)一步化簡(jiǎn)(17)式可以得出(18)式，從便利的角度考慮，再引進(jìn)一個(gè)具有輔助性特征的矢量磁場(chǎng)強(qiáng)度H，見(jiàn)(19)，式中g(shù)是一個(gè)反映磁介質(zhì)磁特性的量，(19)式變形可得(20)式，因此(18)式可變?yōu)?21)式，這個(gè)式子就是在具有磁介質(zhì)的情形下的安培環(huán)路定理.

(16)

(17)

(18)

(19)

B=μH.

(20)

(21)

2 時(shí)變電磁場(chǎng)(兩大假設(shè))

在這種時(shí)變型的電磁場(chǎng)內(nèi)，變化的磁場(chǎng)會(huì)形成電場(chǎng)，變化的電場(chǎng)也會(huì)形成磁場(chǎng)，時(shí)變型的電磁場(chǎng)內(nèi)著重陳述了電場(chǎng)和磁場(chǎng)跟隨時(shí)間從而發(fā)生變化的相互聯(lián)系.

麥克斯韋假設(shè)一：空間變化的磁場(chǎng)會(huì)形成具有時(shí)變特征的渦旋電場(chǎng)(感生電場(chǎng))，即著名的法拉第電磁感應(yīng)定律[1].

(22)

其中，E=E庫(kù)+E感，q為閉合曲面S所包圍的自由電荷.

由(13)和(22)，根據(jù)斯托克斯公式，可以得到庫(kù)侖電場(chǎng)和感生電場(chǎng)的旋度表達(dá)式，即(23)式.由(6)和(22)可知：E庫(kù)為發(fā)散場(chǎng)，E庫(kù)線從正電荷開(kāi)始到負(fù)電荷終止；而E感是無(wú)散場(chǎng)，E感線是無(wú)頭無(wú)尾的連續(xù)曲線.E庫(kù)是位場(chǎng)(無(wú)旋場(chǎng))，可以引入電位概念；而E感為渦旋場(chǎng)(非位場(chǎng))，無(wú)法引進(jìn)電位概念.由于感生電場(chǎng)為渦旋場(chǎng)，因此在變化的磁場(chǎng)內(nèi)，只有處于靜止?fàn)顟B(tài)下的閉合線圈中才有形成感生電動(dòng)勢(shì)的可能.

麥克斯韋假設(shè)二：麥克斯韋位移電流假說(shuō)——變化著的電場(chǎng)激發(fā)渦旋磁場(chǎng).

在研究分析可變電流磁場(chǎng)時(shí)，通過(guò)使用安培環(huán)路定理，發(fā)現(xiàn)和電荷守恒定律具有一定的沖突.麥克斯韋基于此情形下大膽地提出了著名的全電流定律與渦旋電流假說(shuō)[1].

麥克斯韋假設(shè)在一般(例如非穩(wěn)恒)情形下高斯定理仍舊成立，即(11)式.(11)式兩邊對(duì)時(shí)間t實(shí)施求導(dǎo)即(24)式，通過(guò)移項(xiàng)化簡(jiǎn)就得到(25)式，引入位移電流密度jd即(26).麥克斯韋假設(shè)在非穩(wěn)恒條件下，磁感應(yīng)強(qiáng)度H沿著任意閉合曲線的線積分(環(huán)流)滿足(27)式.由(27)式，按照斯托克斯公式，能夠獲得關(guān)于時(shí)變磁場(chǎng)的旋度表達(dá)式(28).

(23)

(24)

(25)

其中，

(26)

(27)

(28)

位移電流、傳導(dǎo)電流是兩個(gè)不同的物理概念，共同點(diǎn)在于它們能夠依據(jù)同樣的規(guī)律引發(fā)磁場(chǎng)，其他方面則完全不一樣.在真空環(huán)境下，位移電流僅僅等同于電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量改變，并未出現(xiàn)電荷或任何其它形式的物理運(yùn)動(dòng)；另外，位移電流并不生成焦耳熱，對(duì)于真空環(huán)境而則言更加顯著.

3 結(jié)語(yǔ)

關(guān)于位移電流的假說(shuō)，說(shuō)明麥克斯韋在處理電磁場(chǎng)理論問(wèn)題的時(shí)候選用了動(dòng)力學(xué)方法，實(shí)驗(yàn)也證實(shí)了這一點(diǎn).麥克斯韋方程組適合于靜態(tài)和時(shí)變的電磁場(chǎng)中.磁場(chǎng)和電場(chǎng)在變化的空間中充相互交織[5]，形成電磁場(chǎng).麥克斯韋創(chuàng)建的電磁場(chǎng)理論是是電磁思想的革命性轉(zhuǎn)變.我們經(jīng)過(guò)對(duì)有關(guān)麥克斯韋方程組的內(nèi)容、創(chuàng)建流程、物理意義，以及不同電磁條件下實(shí)施的探討分析，深化了對(duì)于麥?zhǔn)戏匠探M的認(rèn)識(shí).

[1] 梁燦彬，秦光戎，梁竹健.電磁學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1980.

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[3] 馮慈璋.電磁場(chǎng)[M].北京：人民教育出版社，1979.

[4] 程守沫，江之永.普通物理學(xué)[M].6版.北京：高等教育出版社，1982.

[5] 陳康生.電磁場(chǎng)與電磁波[M].北京：高等教育出版社，2007.

[6] 鄒祖莉.用科學(xué)發(fā)展觀探究《電磁學(xué)》中的對(duì)稱性[C].貴州省科學(xué)技術(shù)優(yōu)秀學(xué)術(shù)論文集，2004：426-428.