學習基本不等式的幾個注意點

張春琦

不等式a+b/2≥

（a>0，b>0）在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式以及解決實際問題方面有廣泛的應用，其重要性不言而喻。復習階段，我們需要勤總結、細歸納，下面和大家談談需要注意的地方。

1.注意基本不等式適用的條件。

（l）當兩個正數的積為定值時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數的和為定值時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”。

（2）要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足三個求最值的條件“一正，二定，三取等”。

誤區分析 錯解忽略了“一正”的判斷，也就是說要確定考慮的對象（本題中為“x”和“2/x”兩者）為正值；若為負，則添加負號來運算。

2.注意基本不等式幾個常用變形。

即為兩個正數a，b的調和平均數、幾何平均數、算術平均數、均方根之間的關系（平方平均≥算術平均≥幾何平均≥調和平均）。

3.注意有些不等式中參數的取值范圍可以拓展到一切實數。

以上都可以將參數a，b推廣到實數集，其證明可以用代數法，也可以用幾何法，同學們白行證明。

本題還可以將a，c看作是方程X2+（b-9）X十24-b（9-b）=0的兩個根，用判別式大于或等于零就能求出b的取值范圍。

若將上題變式為：a+b+c=9，a2十b2+C2=57，求實數b的取值范圍。

4.注意維數的拓展，將二元拓展到多元不等式。

由此得到以下兩個二元他多元不等式鏈（其中各變量取正值）：

這與立體幾何中長方體的體對角線長、表面積、體積的最值有關。

5.注意不等式的加密拓展。

我們還可以對（*）中的a，b賦值，得到如下一些結論，命制新的考題。

6.感受基本不等式背后的意蘊。

實際上考生答題的情況并不好，為什么呢？因為教材上沒有現成的結論，大量的練習也不能解決這類問題，若窮盡所有能夠組成三角形的情況計算，費事費力，顯然不是好的解法，也有違背命題組的初衷，那么這道題究竟考什么呢？

其實，基本不等式不僅僅是兩個平均數的大小比較，應用也不僅僅只是“一正，二定，三取等”求最值，它的本質是兩個正數的幾何平均數與算術平均數的大小關系，二者相等只是那樣一個時刻（當且僅當），從其證明過程不難看出另有意蘊，即當等號不成立時，二者相差多少。

基于此，再去考慮上題，答案就不難得到了：當三角形周長一定時，正三角形的面積最大（注：此結論有多種證法，但用海倫公式與三元基本不等式來證明比較簡單），本題雖然不能組成正三角形，但是可以“盡量”地“接近”正三角形，從而使其面積達到最大，該三角形的周長為2十3十4十5十6=20，無論怎樣擺布，都不會出現三邊相等的情況，但是當三邊接近時，面積也應該最大，三邊和為20，平均為6.6，故可以選6，7（=2+5），7（=3十4）為三邊計算，這種組合顯然是三邊最接近的情況，答案是6

。無獨有偶，2010年高考江蘇高考19題是一道數列背景下的求最大值問題，要解這道題，就要用到上述的結論和思想方法，這些知識、方法、思想是隱形的，需要感悟，這種感悟正是來自對教材的深人品讀，對解題過程的深入反思，對思想的概括升華。endprint