基于高斯過程混合模型的大氣溫濕度預測

周亞同，趙翔宇，何 峰，石超君

（河北工業大學電子信息工程學院，天津市電子材料與器件重點實驗室，天津 300401）

0 引 言

溫濕度預測在國民經濟各領域有重要作用。研究可分為室內溫濕度預測和室外溫濕度預測。室內植物生長很大程度依賴于溫度和濕度，為使植物健康生長減少經濟損失，實現溫濕度智能控制顯得尤為重要[1-2]。對于室外溫濕度預測，是氣象學領域重要的參數指標，同時為其他應用領域提供氣象保障[3]，例如道路、航空與固體表面監控等領域中，主要目的為保障行人安全與科研順利進行[4-5]。近年來，針對溫濕度預測已提出一些預測模型并取得一定進展，但總體上來看預測效果仍有較大提升空間[6]。

對于室內溫濕度預測：王定成等[7-9]基于支持向量機（support vector machine, SVM）回歸模型實現溫室環境溫度預測。左志宇等[10]提出一種時間分析法，采用自回歸滑動平均（auto regressive and moving average, ARMA）模型進行溫度單步預測。鄒偉東等[11-14]基于人工神經網絡（artificial neural networks, ANN）預測溫室中溫濕度。吳曼玲等[15]利用灰色模型預測溫室內溫度，以便對地源熱泵循環泵進行變頻調控。

對于室外溫濕度預測：張麗麗等[16-18]主要采用 ANN預測固體表面、航空發動機及路面表面溫度。于廣濱等[19-20]將 SVM 應用于航空發動機與繞組表面溫度預測中。Nuijten對機場路面溫度預測建立物理模型[21]，將飛機對路面影響等因素考慮進去，實現提前3個小時溫度預測。

但上述預測模型均存在一些不足，例如ARMA和灰度模型預測準確率較低；ANN預測比較復雜，易發生過擬合或陷入極小值點；SVM及一些物理預測模型并非概率模型，無法輸出置信區間，降低了預測結果可靠度等。高斯過程（gaussian process, GP）模型由于其兼具ANN和SVM等傳統模型的優點，已應用于時間序列預測[22-24]。但是單個 GP模型很難反映溫濕度序列在不同時段間的細微差異。高斯過程混合（gaussian process mixture, GPM）模型[25]，采用“分而治之”策略，將樣本分為若干組，對每個樣本組分配一個GP模型進行預測，細致描述不同時段間的細微差異。例如對于溫度序列而言，同一天的早晚溫度要明顯低于午間溫度，而相鄰幾天的早、中、晚各自溫度規律又有一定相似性，因此將早、中、晚的溫度序列劃分為3個模態，用3個GP的混合模型（GPM）預測，結果優于用單個GP預測。

GPM模型目前仍在不斷發展，其學習算法中期望最大算法（expectation maximization, EM）最為常用。EM在學習過程中常引入近似策略，但近似策略的選擇直接影響到最終預測結果。因此本文根據 EM 提出一種基于隱變量后驗硬劃分迭代學習的高斯過程混合模型，并將之用于溫濕度多模態預測。此模型在 EM 學習算法基礎上，采用隱變量后驗硬劃分方式迭代學習，不僅學習速度快，而且能進行溫濕度序列的多模態預測。由于GPM為無環境因子輸入模型，因此本研究不僅對大氣中溫濕度預測有促進作用，同時對溫室中溫濕度預測具有一定借鑒價值。

1 高斯過程混合模型的原理

1.1 GP模型原理簡介

在回歸預測中，設待求的預測函數為 f （ x）。GP模型假設 f （ x）是一個高斯過程，具體表達式見公式（1）。

其中 m（ x）為高斯過程的均值函數，k（ x, x ′）為高斯過程的協方差函數。在回歸預測問題中，采集的序列通常含有高斯白噪聲。假設期望為0、方差為的高斯白噪聲e( x)如公式（2）。

若考慮上述噪聲，則含噪序列 g （ x）的表達式見公式（3）。

綜合（1）至（3）式可知 g （ x）仍為一個高斯過程[26]，其表達式見公式（4）。

GP模型解決回歸預測問題時，需先求出條件概率分布 P （ gt+1|gt），然后取其均值為樣本 xt+1處的最終預測值。條件概率分布表達式見公式（6）。

現設式（6）中分子表達式見公式（8）。將上式中矩陣1t+C 分塊為，其中tC表示1t+C 中除去最后一行及最后一列的剩余部分，κ為1t+C 中右下角最后一個數值，Tk為1t+C 中最后一行除去κ的行向量，k為1t+C 中最后一列除去κ的列向量。因此獲取1t+C 的逆為因此最終條件概率分將其作為樣本

1.2 GPM模型的基本原理

GPM是一種典型的混合模型，其中每個組分都是一個GP分量。一般用tz c= 表示第t個樣本屬于第c個GP分量，并分別用cX和cy表示第c個GP分量的輸入矩陣和輸出向量。因此GPM模型可表示為式（9）~（10）[29]。

本文GPM模型首先采用如下多項分布門限函數生成隱變量tz。

其中πct為樣本所屬分量的比例系數，然后令每一個樣本的比例系數都一致，即 πct=πc，則πc為混合比例系數。對于此GPM模型，設整體隱參數為輸入矩陣和輸出向量分別為X和y，二者滿足以下分布關系[30]。

上式中cm 為第c個GP分量的均值，cS為第c個GP分量的協方差，tx為輸入矩陣中的第t個向量，K為上節中k的矩陣形式。式（13）服從高斯分布，式（14）由式（9）和式（10）結合而成。第c個 GP分量的待定參數為為上節中平方指數協方差函數在第c個 GP分量的參數。因此為GPM模型待估計的所有參數。對于此GPM模型，由于各GP分量的均值 mc不同，使得每個分量能集中描述不同的時間序列輸入區域，因此GPM模型可用于刻畫時間序列的多模態特性。

2 GPM模型的隱變量后驗硬劃分迭代學習算法

本文提出的隱變量后驗硬劃分迭代學習算法，與GPM模型傳統的MCMC、VB或者EM學習算法相比，采用了采樣近似策略，在 E步中根據最大后驗概率準則分配學習樣本，在M步通過最大似然法估計各GP分量的待定參數，從而大幅減少算法的計算復雜度。算法的具體實現步驟如下。

第二步（M步）：參與混合的各GP分量基于最大似然估計獨立學習，其中混合比例系數cπ以及輸入分布的均值cm 與協方差陣cS分別用如式（15）解析式求解。

第三步（E步）：根據最大后驗概率準則對學習樣本重新指定組別，其中?tz為分組結果，等同與上節的tz。

如果重新指定的結果與上輪一致，則迭代算法停止并輸出最終結果；否則返回第二步。

其中z c*= 表示測試樣本屬于第c個GP分量。然后將測試樣本分配到第z組，再由單個GP分量的預測式可得預測分布。該預測式中所需學習樣本為最后一次迭代時被分配到第z組的學習樣本。

3 溫濕度時間序列解析

3.1 溫濕度序列來源

溫濕度時間序列來源于 UCI dataset數據庫（http://archive.ics.uci.edu/ml/datasets.html）。序列通過一個金屬氧化物化學傳感器實時采集，分別記錄試驗地區大氣中溫度和濕度的分時響應。數據庫中儲存了從2004年3月11日0點到2015年4月3日23點，共389 d×24 h=9 336個樣點。試驗選取其中42 d×24 h=1 008個樣點作為溫濕度序列進行預測。為盡量避開空值點，濕度取值范圍：2004年6月10日0點到2004年7月21日23點。溫度取值范圍：2004年6月15日0點至2004年7月26日23點。由于序列為真實采集，難免存在空值點與奇異值點。對于個別空缺樣點補全處理，采用均值補償法，利用相鄰的 2個樣點求平均值來代替；對于連續空缺樣點補全處理，采用經驗修正法，通過長期積累的經驗對樣點進行填充；對于個別奇異值矯正，采用階段性閾值過濾法，根據不同時間段，人為根據經驗設置不同偏差閾值，若某一時刻偏差超過此閾值，則將此時刻樣點過濾掉，變為零值，再利用空缺樣點的處理方法處理此點；對于連續奇異值矯正，采取曲線置換法，通過尋找相同時間段的負荷曲線來替代當前異常曲線，并將補全接頭處進行平滑處理[31]。在特性分析與預測之前，將序列做歸一化處理，采用處理方式為離差標準化。原始序列經過離差標準化處理后，變量區間會落在（0,1）上，可以很大程度上消除量綱影響，并減小變異因素對實際效果造成誤差。歸一化后的溫度和濕度序列如圖1所示。

圖1 溫濕度歸一化序列Fig.1 Normalized sequence of temperature and humidity

3.2 溫濕度序列的預測特性分析

下面從自相關函數、偏自相關函數、最大 lyapunov指數、預測遞歸圖與飽和關聯維數等 5個方面入手，深入解析溫濕度序列的預測特性。

1）自相關函數。自相關函數作為判定時間序列是否為線性的直接標準，詳細描述了序列某時刻與另一時刻的依賴關系。通過設定固定時延參數，可以得出在時延范圍內，初始時刻與任一時刻的關聯程度?，F對溫濕度序列求自相關函數，時延最大為200，其結果如圖2所示。圖中序列的自相關函數從第 7個時延開始，數值已降為負，說明溫濕度序列具有較強的非線性特性。

圖2 溫濕度序列自相關函數Fig.2 Autocorrelation function of temperature and humidity

2）偏自相關函數。時間序列的平穩特性是其預測性的重要指標，而偏自相關函數很好揭示時間序列的平穩性。現對溫濕度序列求偏自相關函數，時延最大為100，其結果如圖3所示。從圖中看出，在t+1 (原點為t時刻)時刻處有單個較大的峰值，t+3時刻后的值大多收斂于置信區間內，證明所選溫濕度序列是非平穩的。

圖3 溫濕度序列偏自相關函數Fig.3 Partial autocorrelation function of temperature and humidity

3）最大Lyapunov指數。Lyapunov指數能很好反映時間序列的混沌特性。當序列的最大Lyapunov指數小于零時，此序列具有穩定的不動點；當最大Lyapunov指數等于零時，此序列具有周期解；當最大Lyapunov指數大于零時，此序列具有混沌特性。本文利用Wolf法循環求得20個周期下溫濕度序列的最大Lyapunov指數。其中每個周期為24h，即1d。其結果如圖4所示。從圖中看出，序列的最大Lyapunov指數均大于零，證明其皆有一定混沌特性。

圖4 溫濕度序列最大Lyapunov指數Fig.4 Maximum Lyapunov exponent of temperature and humidity

4）飽和關聯維數。根據關聯維可以區分時間序列是否具有隨機特性或混沌特性。當關聯維數逐漸增大但不飽和時，此序列具有隨機特性，反之具有混沌特性?，F對溫濕度序列求關聯維數，嵌入維數d分別從2取到8，其結果如圖 5所示。從圖中看出，序列的關聯維數皆隨著嵌入維數的增大達到飽和，因此再次驗證溫濕度序列具有一定混沌特性。

圖5 溫濕度序列飽和關聯維數圖Fig.5 Saturation correlation dimension of temperature and humidity

5）遞歸圖。時間序列的遞歸圖中存在一條主對角線，通過觀察與此對角線平行的直線數量及長短能反映時間序列的可預測性。溫濕度序列遞歸圖見圖6，遞歸范圍取前250個樣點，嵌入維數d取8，時延τ取1。圖中與主對角線平行的線偏短，說明序列適合短期預測，不易長期預測；且溫度序列遞歸圖中平行線要多于濕度序列，表明溫度的可預測性要強于濕度序列。

圖6 溫濕度序列遞歸圖Fig.6 Recursive graph of temperature and humidity

針對以上 5種特性分析，可以驗證溫濕度序列具有較強的非線性、非平穩性及混沌特性。對于大自然中存在的隨即時間序列，當驗證其具有混沌特性時，可借助相空間重構將序列映射至高維空間獲取其混沌吸引子，進而實現預測。目前驗證時間序列是否具有混沌特性的充分條件并不存在，lyapunov指數、關聯維數及遞歸圖為混沌序列的3個經典指標，當滿足此3個指標各自所需條件時，可近似驗證此時間序列具有混沌特性。而在后續研究中，混沌序列的又一必要條件為非線性，且溫濕度序列恰好具有非線性及非平穩性。因此本文首先對溫濕度序列進行特性分析，在驗證其可預測性后再進行預測，使研究更具實際意義。

4 預測實例及結果比較分析

現對溫濕度進行預測，預測試驗軟件平臺為Matlab2010a。針對所選試驗序列，從第101時刻至第500時刻作為學習樣本，從第501時刻至第900時刻作為測試樣本。為了展示GPM的預測能力，本文將之與核回歸（kernel-regression, K-R）、最小最大概率機回歸（minimax probability machine regression, MPMR）、線性回歸（linearregression, L-R）、GP和SVM模型進行比較。

K-R是一種基于核函數的預測模型，通過調整最優窗寬h，逐漸夾逼得到對應誤差最小的預測結果，K-R由于其可以同時預測線性與非線性時間序列，一直作為預測模型研究的基礎。MPMR無須對模型分布做具體假設，僅需知道序列分布的均值和協方差矩陣即可，此模型改善了神經網絡易陷入極小值與過擬合等不足，并可以有效的預測混沌時間序列，如Sun利用MPMR預測傳統混沌時間序列[32]，取得較好結果，目前MPMR已成功用在預測電力負荷時間序列及交通流量時間序列。L-R是一種非常傳統的模型，利用變量之間相互依賴的定量關系，得到線性表達式，進而預測測試樣本。L-R在線性較強的時間序列中表現出較好的預測效果，但對于混沌時間序列，預測效果欠佳。GP作為GPM模型的基礎，已被廣泛應用于各項預測中。

本文采用以下2個指標作為定量評定預測結果的優劣：

1）均方根誤差（RMSE）

2）判定系數（ R2）

4.1 濕度預測

在GPM模型中，主要待定參數為模態個數C，加上相空間重構的參數d和τ，共有3個參數需要確定。對于濕度時間序列，為獲得最佳預測參數，首先固定C值不變，將d從2至8，τ從1至6循環遍歷搜索。通過對比不同d和τ下的RMSE和2R值，可以得到最優預測參數為5d=和1τ=。然后將此參數固定的前提下，循環遍歷模態個數C，在同時保證RMSE最小和2R最大的前提下，最優模態個數C應取3。在獲取全部最優參數后，對濕度序列進行預測，預測結果如圖7所示。圖7a中線為序列真實值，點線為得到的預測值，因此點、線貼合度越高，意味著預測效果越好。圖7b點狀圖中橫坐標代表濕度序列真實值，縱坐標代表預測值，圖中點越集中于主對角線上，意味著預測效果越好。

圖7 濕度序列的GPM模型預測結果Fig.7 Prediction results of humidity

GPM模型的優勢在于：1）對序列分而治之，通過設置模態個數能更好適應多模態時間序列；2）可以輸出置信區間，提高預測結果可靠性。因此為更加直觀展示序列的多模態特性和置信區間，現將不同模態個數情形下的預測結果與置信區間圖排列如下。圖8中以 3C= 為例，紅色模態描繪上午濕度變化情況，呈急劇下降趨勢；綠色模態描繪下午濕度變化情況，呈急劇上升趨勢；藍色模態描繪從下午到上午一整段的夜間濕度變化情況，先上升后下降。從圖中看出，3種濕度變化趨勢對應著3種模態，若不區分模態，就不易展示上述濕度變化趨勢。而將之劃分成多個模態預測，可以有效提升預測效果。在圖9中，藍線與紅線分別代表置信區間上限與下限，2條線在波峰與波谷位置與預測曲線貼合緊密度要弱于其他位置，證明此處的預測可靠度要小于其他位置。

圖9 濕度預測置信區間Fig.9 Confidence interval of humidity prediction

現將6種模型在最佳d和τ取值下（5d=、1τ=）的預測RMSE值、2R值及預測耗時列于表1。從表1中看出，GPM 預測效果要好于其它 5種模型。由于 GPM與SVM皆需通過迭代訓練樣本，因此其預測耗時要略高于其它4種模型，且GPM耗時要低于SVM。對于濕度序列，GPM 最終預測RMSE= 0 .062 0，R2= 0 .936 2，預測耗時為113.417 5 s。

表1 6種模型濕度預測對比Table 1 Comparison of six model humidity prediction

4.2 溫度預測

與濕度預測獲取最佳參數過程相同，最終可得d=5、τ=1、C=2。將所有參數設置完畢后，對溫度序列進行預測，預測結果如圖10所示。

圖10 溫度序列的GPM模型預測結果Fig.10 Prediction results of temperature

繼而針對最優d和τ（5d=、1τ=），將6種模型的預測結果列于表2。從表2中看出，GPM的預測效果要好于其它 5種模型，且溫度序列的預測效果要好于濕度預測。同樣由于迭代學習，GPM與SVM的預測耗時要高于其它4中模型，且GPM要低于SVM。對于溫度序列，GPM預測RMSE= 0 .042 6，R2= 0 .966 6，預測耗時為90.004 9 s。

表2 6種模型溫度預測對比Table 2 Comparison of six model temperature prediction

5 結 論

本文采用高斯過程混合（GPM）模型進行溫濕度多模態預測，并采用真實大氣溫濕度序列進行預測試驗及驗證。得到結論如下：

1）自相關函數等5個指標揭示了溫濕度序列具有很強的非線性、非平穩性、混沌特性和一定的短期可預測性；

2）隨著相空間重構參數嵌入維數和時延增加和減小，預測準確率逐漸上升，但嵌入維數的取值不宜過大，預測耗時與嵌入維數、時延無明顯關系；

3）GPM的模態個數取值沒有明顯規律。不同的溫濕度序列最優模態個數也隨之不同。對于本文所采用的試驗序列，濕度預測時最優模態數為3，溫度預測時最優模態數為2；

4）在GPM與K-R、MPMR、L-R、GP及SVM對比試驗中，GPM預測效果最佳，要明顯高于其它5種模型，預測效果排序為：GPM>SVM>=GP>MPMR>L-R>K-R。但由于GPM與SVM采用迭代學習算法，預測耗時要略高于其它4種模型，且GPM預測耗時要低于SVM。

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