零效用保費原理下具有免賠額的保費估計

莊小紅+盛世明+潘燕

摘 要：近年來，隨著經(jīng)濟的發(fā)展和人們風險意識的增強，越來越多的人會選擇通過購買保險來降低可能面臨的潛在風險。在保險的購買和索賠過程中，人們關(guān)注的是保費的制定和索賠額的確定，這其中會出現(xiàn)一種特殊的索賠——未達到一定數(shù)額的理賠額時保險公司選擇不做理賠。文章針對這一特殊情況的保費的制定進行探討，初步得出了在零效用原理下保費的估計及其大樣本性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：零效用保費 非參數(shù)估計 貝葉斯估計 數(shù)值擬合

中圖分類號：F840 文獻標識碼：A

文章編號：1004-4914（2017）11-104-03

在實際生活中，大多數(shù)的保險險種，如車險，健康險，疾病險，生命險和商業(yè)保險等都涉及有免賠條款。免賠條款是保險人對保險理賠進行限制的方式，其主要思想是：通過設置免賠額，減少一些頻繁發(fā)生的小額賠付支出，提高被保險人的責任心和注意力，降低風險，同時降低保險公司的經(jīng)營成本。

一般來說，保險公司可能涉及的免賠條款有：絕對免賠條款、相對免賠條款、比例免賠條款、有限比例免賠條款和消失免賠條款，它們基本滿足以下四個性質(zhì)：

1.預防損失：帶有免賠條款的保險會使得被保險人發(fā)生損失時得到的理賠減少，這會使一部分人不參保，這樣留下來的投保人將是積極的投保人。

2.虧損減少：帶有免賠條款的保險會使得被保險人發(fā)生損失時只能得到部分的理賠，這不會為投保人提供經(jīng)濟誘因使得損失擴大（該擴大的損失可避免）。

3.避免小額理賠：在成本管理占主導地位的市場上，對小額理賠的管理費用往往會超過理賠額本身，因此在帶有免賠額的保費中，保險公司要求投保人對小額損失自行處理。

4.降低保費：保費的降低對保單持有者來說是一個重要的因素，他們可能更希望有一個較高的免賠額來獲得一個更低的保費。

在眾多研究免賠條款的文獻中，前人大多研究的是在凈保費原理下討論具有免賠額保險的定價問題，如Head and Smith側(cè)重于免賠額定價方面的定性研究，Arrow討論了免賠額定價的不同假設和研究方法，Raviv對最優(yōu)保單合同的研究進行了歸納，并進一步延伸了Arrow等的研究結(jié)論，提出了更加完善的免賠額定價模型，而K.Burneck J. et al等在理論上研究在上述五種免賠條款下的凈風險保費，并提出了該純保費的計算公式。然而，在保險實際中，凈保費不能滿足保費的正的安全負荷性。在破產(chǎn)理論中已經(jīng)證明，保險公司僅收取純保費則將注定發(fā)生破產(chǎn)，可參考Asmussen。由于效用保費原理的重要性，下面將討論效用保費原理下具有絕對免賠額的保費的估計。

一、模型概況

首先，我們給出絕對免賠額的定義？譹？訛：

定義絕對免賠額（Fix Amount Deductible）是指當被保險人的損失超過規(guī)定的免賠額時，保險公司只對超過部分進行理賠；其他情況下，保險公司不對損失進行理賠。假設規(guī)定的免賠額為d時，則保險公司的支付函數(shù)為：Id=max{0，x-d}。

設X是描述被保險人損失大小的非負隨機變量，F(xiàn)（x）、f（x）分別代表X的分布函數(shù)與概率密度函數(shù)，假定X的期望、方差分別為：E[X]=μ，Var[X]=σ2。

命題1：在絕對免賠額下，保險公司承擔該風險X后可能面臨的損失為：

Id=（X-d）+=x-d，x≥d0，x

則Id的分布函數(shù)為：F1（y）=F（d），y=0F（y+d），y>0

概率密度函數(shù)為：fI（y）=F（d），y=0f（y+d），y>0

其中F（x）、f（x）分別是風險X的分布函數(shù)與概率密度函數(shù)。

證明：由全概率公式易得證。

假定免賠額d給定，那么在零效用保費原理下，此時保費P為下式方程的解：E[U（P-Id）]=0，其中函數(shù)U（·）我們稱之為保險人的效用函數(shù)？譺？訛。

下面，我們給出在四種特殊的效用函數(shù)下，保費Pd的具體表達式。在計算過程中，為了簡便敘述，我們引入有限期望值函數(shù)？譻？訛：

LX（t）=E[min（X，t）]=∫t0yfydy+t1-Ft，t>0

該函數(shù)在點t的值等于隨機變量X在截斷點t的期望值。又對任意的t大于0，都有：

LX（t）=1+t-F（t）>0

成立，即LX（t）關(guān)于t單調(diào)遞增。

（1）線性效用函數(shù)：選定效用函數(shù)為線性效用函數(shù)U（x）=x，此時在絕對免賠額下的保費Pd滿足：

E[Pd-Id]=0

經(jīng)計算得Pd1=E[X]-LX（d）。

由于LX（d）關(guān)于d單調(diào)遞增，所以保費Pd1關(guān)于免賠額d單調(diào)遞減。特別地，當絕對免賠額d=0時，所得保費滿足凈保費原理？譼？訛，即Pd1=E[X]。

（2）二次方效用函數(shù)：選定效用函數(shù)為二次效用函數(shù)U（x）=x-ax2，此時在絕對免賠額下的保費Pd應滿足：

E[U（Pd-Id）]=E[（Pd-Id）-a（Pd-Id）2]=0，

經(jīng)計算可得：

Pd2=E[Id]+-，

其中：

E[Id]=E[X]-LX（d），

Var[Id]=Var[X]-（1-F（d））（d-d2）+2E[X]（LX（d）-d）+LX（d）（2d-LX（d））-Lx2（d）。

特別地，當免賠額d=0時，此時Pd2=E[X]+-即為方差保費；當免賠額d→∞時，易證得此時保費Pd2=0。

（3）指數(shù)效用函數(shù)：選定效用函數(shù)為指數(shù)函數(shù)U（x）=1-e時，此時在絕對免賠額下的保費Pd滿足：

E[U（Pd-Id）]=E[（1-e-a（Pd-Id）））]=0

經(jīng)計算可得：

Pd3=lnE[eaId]=ln{E[ea（X-d）]-e-adLeaX（d）+（de-ad-1）（1-F（d））+1}。

特別地，當免賠額d=0時，Pd3=lnE[eax]，滿足指數(shù)保費原理。

（4）Esscher效用函數(shù)：選定Esscher效用函數(shù)U（x）=xe-λx時，此時在絕對免賠額下的保費Pd應滿足下式：

E[U（Pd-Id）]=E[（Pd-Id）e-λ（Pd-Id）=0，

經(jīng)計算可得：

Pd4==

特別地，當免賠額d=0時，Pd4=，即為Esscher保費原理？譽？訛；當免賠額d→∞時，易證得此時保費Pd4=0。

二、具有免賠額保費非參數(shù)估計

（一）免賠額下的非參數(shù)估計

設風險X前n年的理賠額分別為I1，I2，…，In，對風險X第n+1年的保費Pd進行非參數(shù)估計時，此時得到的零效用保費的估計方程為：

UP-I=0（1）

由此得到的保費Pd的非參數(shù)估計具有如下性質(zhì)：

定理1.當n→∞時，零期望效用估計方程（1）以概率1有解，且該解關(guān)于零期望效用保費Pd是強相合的，即→Pd a.s。

定理2.記h（Id，P）=U（P-Id），E[（h（Id，P）2]=m（Pd），以及E[I，P│]=H（Pd），若對任意的P>0滿足下面的條件：

1.在零效用保費Pd的鄰域內(nèi)，效用函數(shù)h（Id，P）關(guān)于P的偏導數(shù)和對所有的Id均存在；

2.在零效用保費Pd的鄰域內(nèi)，有E[（I，P）]<∞；

則當n→∞時，零效用估計方程（1）的非參數(shù)估計是漸近正態(tài)的，且有

-PN0，。

對定理1和定理2的證明可參見《零期望效用原理下的貝葉斯保費》？譾？訛。

事實上，由于免賠額d的限定，風險X的歷史索賠記錄I1，I2，…，In與不含免賠額時風險X的歷史記錄X1，X2，…，Xn間僅相差幾個非零數(shù)。由此，我們可得在常用的四種效用函數(shù)下具有免賠額d的保費的非參數(shù)估計：

（1）線性效用函數(shù)：在線性效用函數(shù)U（x）=x下可得到免賠額下保費Pd1的非參數(shù)估計為：

=Ii。

（2）二次方效用函數(shù)：在二次效用函數(shù)U（x）=x-ax2下可得到免賠額下保費Pd2的非參數(shù)估計為：

=Ii+-。

（3）指數(shù)效用函數(shù)：在指數(shù)效用函數(shù)U（x）=（1-e-ax）下可得到免賠額下保費Pd3的非參數(shù)估計為：

=ln（eaIi）。

（4）Esscher效用函數(shù)：在Esscher效用函數(shù)U（x）=xe-λx下可得到免賠額下保費Pa4的非參數(shù)估計為：

=。

（二）免賠額下的非參數(shù)估計的數(shù)值模擬

在本節(jié)中，為了驗證上一節(jié)所得具有免賠額的零效用保費的非參數(shù)估計的大樣本性質(zhì)，我們選取了風險X的某一具體分布，通過蒙特卡洛方法對其進行數(shù)值上的擬合，以觀察具有免賠額保費的非參數(shù)估計的收斂速度。

假設風險X服從指數(shù)分布Exp（θ），其密度函數(shù)為：f（x）=θe-θx（x>0），則有：

E[X]=，Var[X]=，MX（μ）=，E[XeμX]=MX'（μ）=，μ<θ。

由此易得到風險X在具有免賠額d下的分布函數(shù)為：

fI（y）=1-e-θd，y=0-θ（y+a）θe），y>0；

且有LX（d）=-e-θd，

Lx2（d）=-e-θd（d2++-d），

LeμX（d）=（e（μ-θ）d-1）+de-θd，

LXeμX（d）=e（μ-θ）d（-）++de-θd。

那么在特定的四種效用函數(shù)下，具有免賠額的保費分別為：

（1）線性效用函數(shù)下Pd1=e-θd；

（2）二次方效用函數(shù)下Pd2=e-θd+

-；

（3）指數(shù)效用函數(shù)下Pd3=ln（e-θd+1）；

（4）Esscher效用函數(shù)下Pd4=。

在模擬過程中，不妨取定二次方效用函數(shù)U（x）=x-ax2中a=，指數(shù)效用函數(shù)U（x）=（1-e-ax）中a=，Esscher效用函數(shù)U（x）=xe-λx中λ=，通過計算不同的樣本容量n，筆者將得到保費Pd的非參數(shù)估計的均值和均方誤差MSE。

設定樣本容量n分別為30，80，200，800，指數(shù)分布Exp（θ）分布取θ=0.2，0.5，1，免賠額d=，分別計算出四種效用函數(shù)下具有免賠額的保費的非參數(shù)估計，選取模擬次數(shù)K=5000，所得結(jié)果繪制成表1—3。

觀察表1—3，我們可以得到：首先從數(shù)值擬合上進一步驗證了非參數(shù)估計的強相合性，且均方誤差滿足實際需要；其次當免賠額d保持不動的時候，隨著分布參數(shù)θ的增大，收斂速度加快。

三、具有免賠額保費貝葉斯估計

一般地，在保險實際中，風險保費Pd（θ）都涉及風險參數(shù)θ，且θ未知。但我們易得到風險X的歷年索賠記錄，且由于免賠額下風險X保費的索賠記錄與無免賠額下風險I保費的索賠記錄僅差幾項非零值，則免賠額下風險保費Pd（θ）與貝葉斯保費Pd（θ）？譾？訛也有類似前文的結(jié)論：

命題2：風險X在零效用保費原理下具有免賠額的貝葉斯保費Pd（（In）與風險保費Pd（θ）之間有如下關(guān)系：Pd（）=Pd（θ）1θ=In且貝葉斯保費Pd（（）漸近收斂于風險保費Pd（θ）。

由此可知，求解風險X的風險保費Pd（θ）可通過貝葉斯保費來進行估計。在常用效用函數(shù)下，我們可得具有免賠額d的風險保費與貝葉斯保費如下（由于二次方效用函數(shù)形式的復雜性在此只考慮三種效用函數(shù)）：endprint

1.在線性效用函數(shù)U（x）=x下可得風險X在免賠額下的風險保費Pd1（θ）和貝葉斯保費Pd1（）分別為：

Pd1（θ）=E（In+1│θ），

Pd1（）=E（In+1│），

2.在指數(shù)效用函數(shù)U（x）=（1-e-ax）可得到風險X在免賠額下的風險保費Pd2（θ）與貝葉斯保費Pd2（）分別為：

Pd2（θ）=lnE（eaIn+1│θ），

Pd2（）=lnE（eaIn+1│），

3.在Esscher效用函數(shù)U（x）=xe-λx下可求得風險X在免賠額下的風險保費Pd3（θ）與貝葉斯保費Pd3（）分別為：

Pd3（θ）=。

Pd3（In）=

綜上求解我們知道，在三種特殊的效用函數(shù)下，均易得證風險X的風險保費Pd（θ）與貝葉斯保費Pd（In）間是強相合的。

[基金項目：上饒師范學院青年科研基金項目201418]

注釋：

？譹？訛Young V R.Premium Principles[M].New York： Encycloped

ia of Actuarial Science，2004

？譺？訛Denuit M， Dhaene J. Risk Measurement with Equivalent Utility Principles[J].Statistics and Decisions，2006，24（1）

？譻？訛Berger J.Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis[M].New York： Springer，1985

？譼？訛Huang J H， Wang G C， Wu z. Optimal Premium Policy of an Insurance Firm： Full and Partial Information [J]. Insurance： Mathematics and Economics. 2010，47（2）

？譽？訛Wen L M， Wang W， Wang J L.The Credibility Premiums for Exponential Principle[J].Acta Mathematica Sinica.2011，27（11）

？譾？訛溫利民，莊小紅.零期望效用原理下的貝葉斯保費[J].系統(tǒng)科學與數(shù)學，2016，36（8）

（作者單位：上饒師范學院經(jīng)濟與管理學院 江西上饒 334001））

[第一作者簡介：莊小紅（1987—），女，福建泉州人，助教，碩士，主要從事統(tǒng)計學研究。]（責編：若佳）endprint