固定幅度和頻率的振動系統中阻尼及中間質量對底座受力的影響

趙明健，張俊華，宋佳，張長法

（煙臺大學機電汽車工程學院，山東 煙臺 264005）

1 緒論

近年通過振動刺激進行相關治療和肌肉強化已經廣泛的應用到醫療行業，有研究表明振動刺激介入可改善肌肉活化的特性[1]。為了了解振動刺激配合其他醫療方案如機器人輔助治療的效果，需要搭建能夠產生振動的醫療設備。由于振動不僅會損壞運載器本身的零部件、惡化工作性能乃至縮短運載器的使用壽命, 還會嚴重影響其他機載設備儀器的正常工作[2]，所以需要將振動源與設備其他部分進行隔振處理。傳統隔振的目的是隔離（減少）振動源的振動能量向周圍散播，隔振的同時會影響到振源的振幅，即為了達到隔振效果的代價往往是振動幅度的降低。與傳統的隔振不同，在此次隔離中首先要保證的就是振動源的能夠達到一定的振動幅度，否則就達不到振動刺激的效果。

傳統隔振方式按照是否添加次級振動源分為主動隔振（有源隔振）和被動隔振（無源隔振）。其中主動隔振是指在被控系統中引入次級振源，由于需要另外設置一個較為復雜的次級振源控制系統，所以在本文中不對該隔振技術作討論。被動隔振具有結構簡單、易于實現等優點，而且一旦設計完成，其參數很難更改，因而只能針對某一特定的窄頻段振動起到衰減作用[3]。而本次論文分析的是有特定振幅和頻率的振動源的隔振，振動環境相對簡單可控，因此采用被動隔振正好適合。由于本次分析的振動系統的振動幅度和頻率固定，這就意味著傳統的隔振分析可能不適用于本次的隔振系統。本文要探討在固定幅度和頻率的振動系統中阻尼、中間質量大小及剛度分配對振動系統底座受力的影響，以為相應隔振機構的設計提供初步的理論參考。

2 分析方法

傳統隔振效率的評價評價指標有四種：振級落差、插入損失、力傳遞率和功率流[4]。其中振級落差和插入損失都是描述振動幅度在隔振系統中的衰減情況，力傳遞率描述的是振動力在隔振系統中的衰減，功率流則描述的是功率在隔振系統中的衰減程度。由于該振動系統的振動力并不確定，所以力傳遞率和功率流明顯不適合用來做此次的分析對比的指標。該振動源的振動幅度是定值，但是設備的其他部分的剛度要遠遠高于隔振部分，一般在分析中將振動系統中振動源和隔振部分之外的部分視為振動系統的底座，并且視其剛度為無限大。所以通過振幅的衰減程度分析的振級落差和插入損失也不能作為此次分析對比的指標。

由于之前假定振動系統中振動源的幅度和頻率值固定，而本次分析是為了探討阻尼、中間質量的大小以及剛度分配對振動系統底座受力大小的影響。所以提出通過具有相同系統剛度的相應的隔振系統與單自由度無阻尼系統在相同幅值和頻率的振動源振動下底座受力的比值η來表示。當該比值η＜1時，說明該隔振系統的底座受力較低，對隔振有積極作用。否則該隔振系統會增大底座受力，隔振效果更差。

3 振源振幅和頻率固定的情況下阻尼對底座受力的影響

圖1 單自由度振動系統

用來描述振動系統全部在運動過程中的某一瞬時在空間所處幾何位置的獨立坐標的數目定義為振動系統的自由度[5]。通過對比單自由度無阻尼振動振動系統和單自由度有阻尼振動系統的底座受力幅值，探討阻尼對底座受力的影響。圖一為單自由度系統在該條件下結構簡圖。其中k為系統彈性剛度，c為阻尼系數，F(t)為振動系統的簡諧振動力滿足公式：

F0為振動力的幅值，ω為在本次分析的條件中F0大小會根據不同的振動系統有調整，以滿足振幅的要求。可以假定質量塊m的位移方程為：

對于單自由度無阻尼系統，如圖一（a）所示。其底座受力為：

所以底座受力幅值：

由式（4）可知，單自由度無阻尼系統的在該條件下底座受力只與系統靜彈性剛度有關，剛度越低底座受力越小。

對于單自由度有阻尼系統，如圖一（b）所示。其底座受力為：

則

如式（7）所示，在振幅和振動頻率相同的情況下，阻尼對振動系統底座受力的影響系數 ηm通過單自由度有阻尼系統底座受力幅值P0m與單自由度無阻尼系統底座受力幅值P0的比值表示。

其中剛度系數 k、振動頻率ω的值為定值，ηm與的關系如圖2所示。

圖2 阻尼對底座受力的影響

4 固定振幅和頻率下中間質量對底座受力的影響

雙自由度無阻尼振動系統結構簡圖如圖3所示，可以看出雙自由度振動系統相當于在單自由度振動系統中間添加了一個中間質量塊。

圖3 雙自由度無阻尼振動系統

為了方便與單自由度作比較，引入系統總靜剛度Ks，在雙自由度無阻尼系統中其求解方程式（8）所示：

而單自由度振動中Ks=k。

求得結果：

雙自由度無阻尼振動系統的底座受力幅值：

將式（8）帶入式（11）中有：

如式（12）所示，在振幅和振動頻率相同的情況下，中間質量對振動系統底座受力的影響系數 ηd通過雙自由度無阻尼系統底座受力幅值 P0d與單自由度無阻尼系統底座受力幅值P0的比值表示。

其中Ks、ω為定值，m1表示中間質量的大小，在Ks值確定時根據式（8）可由 k1值確定 k2值，所以可以表示k1、k2之間的剛度分配。由式（13）可以看出ηd值受中間質量m1、和剛度分配的影響，其關系由圖4所示。

圖4為中間質量大小和剛度分配對底座受理影響圖，為了清楚地展示兩者對底座受力的影響，圖五分別展示了當=3、4、5三種情況下，剛度分配對底座受力的影響；圖六展示了當=0.5時中間質量大小對底座受力的影響。當＜4時，底座受力系數ηd的與剛度分配呈二次曲線分布，與圖五中=3時的曲線相似。只有當=0或1時底座受力系數有最小值ηd=1，此時振動系統相當于但自由度無阻尼系統。當＞4時，底座受力系數 ηd的與剛度分配關系與圖五=5時的曲線相似，曲線分為三部分，兩側的曲線顯示底座受力系數ηd＞=1,且只有當=0或1時底座受力系數有最小值ηd=1。中間的曲線ηd為負值，ηd的正負表示底座受力的相位。此時當=0.5時，ηd在數值上有最小值，由圖六可知當＞8時，ηd＞-1,即在該條件下雙自由度振動系統的底座受力小于單自由度振動系統。

圖4 中間質量及剛度分配對底座受力的影響

由此可見在振動源振動幅值和振動頻率一定的條件下，當中間質量相對于系統剛度足夠大時，通過添加中間質量來降低底座受力的方法理論上是可行的，并且剛度分配越均勻效果越好。

5 總結

通過以上的分析可以得出如下結論：

在固定振幅和振動頻率的振動源下，阻尼會增加底座受力；

振動源振動幅值和振動頻率一定的條件下，當中間質量相對于系統剛度足夠大時，通過添加中間質量來降低底座受力的方法理論上是可行的。并且剛度分配越均勻效果越好。

因此在振動源振幅和振動頻率固定的隔振系統中應避免使用阻尼，可以使用質量較大的中間質量塊。

[1] 劉強,楊雯雯,王子瑋,等.局部低頻振動刺激對手部運動功能的瞬時影響[J].醫用生物力學,2011, 26(4):310-314.

[2] 劉會兵,廖昌榮,李銳,等.發動機振動隔離控制技術研究進展[J].車用發動機,2008(3):1-7.

[3] 張磊,付永領,劉永光,等.主動隔振技術及其應用與發展[J].機床與液壓,2005(2):5-8.

[4] 段小帥,梁青,陳紹青,等. 雙層隔振系統隔振效果評價與試驗[J].振動、測試與診斷,2010, 30(6):694-697.

[5] Singiresu,S.Rao,著:李欣業,楊理誠譯.機械振動（第 5版）:Mechanical vibrations[M]. 清華大學出版社, 2016.