斜拋運動在空氣阻力f=-kv情況下的研究

張金榮 張春秀

（云南省紅河州個舊市個舊一中）

一、問題的引入

斜拋運動指的是物體以初速度v0斜著拋出，如果物體只受重力的作用，這時物體的運動叫斜拋運動，可以證明斜拋運動的軌跡是一條拋物線。若考慮空氣阻力，斜拋運動的情形到底如何呢？我們以空氣阻力滿足f=-kv時，研究以一定的初速度v0斜拋小球，且v0與水平面上的Ox軸的正方向夾角為α，小球的運動規律。

二、理論推導

首先對小球受力分析，小球受到重力mg；空氣阻力f=-kv，方向與速度方向相反，根據牛頓第二定律可得：

積分得

由于當t=0時，v0x=v0cosα，v0y=v0sinα化簡得速度隨時間的變化規律為

當t=0時，x=0，y=0對⑤⑥兩式積分得

上述兩式也是小球做斜拋運動時位移隨時間的參數方程

消去方程中的時間t，可得小球在受空氣阻力f=-kv情況下的軌跡方程

利用物理仿真實驗室可繪制出小球在各時刻的軌跡圖：

空氣阻力系數取k=0.5，小球質量m=1kg，重力加速度g=10m/s2，斜拋初速度 v0=60m/s，拋出角 α=30°

由圖像明顯可看出：由于空氣阻力的影響，小球的軌跡不再是一條拋物線，它的升弧和降弧不在對稱，升弧較長而直伸，降弧短而彎曲.

討論：

利用物理仿真實驗室繪制vx-t和vy-t圖，由圖可以發現隨著時間的推移水平分速度不斷趨近于0；豎直分速度不斷趨近于穩定，即小球豎直方向最終做勻速直線運動.

所以，可以得出結論：做斜拋運動的物體，當受到f=-kv的空氣阻力作用時，物體最終水平方向的分速度趨近于0，豎直方向的分速度趨近于近似看作物體做豎直向下勻速直線運動。

由此，可以得出結論：在空氣阻力的情況下，隨著時間的推移，小球在水平方向會有一個最大位移

3.上升的最大高度即射高問題

若將小球上升的最大高度記作hmax，hmax滿足此時的豎直分速度 vy=0，令 vy=0，解得

馬文蔚.物理學［M］.北京：高等教育出版社，1999：48.