透過函數圖象 看清數列背景
——對一類數列題的解法探究

陳岳鵬

（浙江省杭州市富陽區場口中學）

數列是高中數學的重要知識內容，在歷年的高考解答題中都占有重要地位，近年來的浙江省高考數列在簡答題中的考查更以壓軸題形式出現，而且把數列與不等式結合起來，經常出現證明數列單調性、有界性以及相關和式的收斂性問題，這就使得備考數列問題無所適從。而且，同函數等內容一樣，學生“一講就會，一考就亂”，他們最大的困惑是：好的解題思路是從哪里來的？也就是說，在面對“山重水復疑無路”的困境時，如何找到“柳暗花明又一村”的途徑，是學生們最需解決的問題。

我們都知道數列是定義在正整數集或其子集上的函數，那么處理數列與不等式問題理論上也可以利用函數中數形結合的思想。本文將通過幾個例子來說明一類數列題的解法。

一、預備知識

定義1：函數的不動點，在數學中是指被這個函數映射到其自身的一個點，即函數f（x）的取值過程中，如果有x0，使f（x）=x0，就稱x0為f（x）的一個不動點。對此定義，有兩方面的理解：

（1）代數意義：若方程f（x0）=x0有實數根x0，則f（x0）=x0有個不動點x0。

（2）幾何意義：若函數y=f（x）與y=x有交點（x0，y0），則稱x0為f（x）的一個不動點。

定義2：在不動點x0處，若＜1，則稱 x0為y=（fx）的吸引不動點；若在不動點x0處，若則稱x0為y=（fx）的排斥不動點。

定義3：若存在常數k，使得對定義域D內的任意兩個不同的實數x1，x2均有成立，則稱函數（fx）在定義域D上滿足利普希茨條件。

定理1：若y=（fx）是定義在I上的連續可導函數，只有一個不動點x0，且為吸引不動點，初始值x1≠x2，遞推數列xn+1=f（xn），n∈N*，則（1）當f在I上遞增時，則數列xn｛｝單調且收斂于x0；（2）當f在I上遞減時，則數列xn｛｝的兩個子列的｛x2k-1｝和｛x2k｝一遞增一遞減，且收斂于x0。

二、解法探究

引例：2016屆溫州市高三第一次適應性測試中第20題

如圖，已知曲線 C1（x＞0）及曲線 C2（x＞0），C1上的點P1的橫坐標為a（10＜a1＜）．從 C1上的點P（nn∈N+）作直線平行于x軸，交曲線C2于點Qn，再從點Qn作直線平行于y軸，交曲線C1于點Pn+1。點Pn（n=1，2，3…）的橫坐標構成數列｛an｝。

第20題圖

（Ⅰ）試求an+1與an之間的關系，并證明：a2n-1＜＜a2（nn∈N+）；

（Ⅱ）若a1=，求證n(∈N+）。

參考答案的解法：

（Ⅰ）由已知，P（na·n），從而有

因為Qn在上，所以有

由 a1＞0 及 an+1=，知 an＞0，

下證

所以an+1-=與an-異號。

因為 0＜a2n-1＜，所以 a2n+1＞a2n-1，

所以有a2n＞＞a2n-1＞a2n-3＞…＞a1

從而可知 an≥a1，故有：

對（1）的分析：不難求得an+1=，從而我們可以很容易的畫出y=x和y=的圖象，記它們的交點為A，原曲線C1與C2的交點為H，則可以解得H的橫坐標為，它與點A的橫坐標是一樣的，我們把稱為函數y=的不動點。因此從函數圖象中我們就可以看出 a2n-1＜＜a2（nn∈N+）這一結果，要證a2n-1＜＜a2（nn∈N+）只需要作差。

對（2）的分析：當a1=時，a2=。

由an+1=得6an+1an=an+1，如圖，A（1a1，a2），A（2a2，a3），A3（a3，a4）…

筆者從這道題的解法中深受啟發，感受到處理數列與不等式問題可以利用函數中數形結合的思想，透過函數圖象，可以看清某些數列的背景，從而產生解決思路，這應該就是專家們說“有圖就有真相”的道理。

我們常見數列的遞推式對應的函數主要為以下幾個重要的初等函數：（1）f（x）=a+（3）f（x）=ax2+bx+c

下面逐一舉例說明：

（選自2015年浙江測試卷（理科）中第20題。）

已知數列an｛｝滿足

（Ⅱ）記Sn為數列的前 n 項和N*）證明：

析：解法基本與上面的引例一致。

事實上：由已知可得 an∈（0，1］，

所 以 2an+1＞1， 故

（2）因為 n≥2時，

但需要用作差法去證明這一結果。

然后就有：

已知數列an｛｝滿足

（II）若 a1=4記，數列｛bn｝的前n項和為Sn，求證：對第（2）題進行分析：畫出函數y=x與，記兩個圖象的交點為A，可以計算得點A的橫坐標為2，即2是函數的不動點。從圖中可得數列an｛｝單調遞減且有界an∈（2，4］，事實上，由題意可得an＞0，an+1-2=（-4an+4）=因為 a1=4，所以 an＞2。

3.數列遞推式對應函數為f（x）=ax2+bx+c解法舉例（選自2015學年第二學期浙江省名校協作體試題理科第20題）

已知各項為正的數列an｛｝滿足

（I）證明：0＜an＜an+1＜1（n∈N*）；

（II）求證：a1+a2+…+an＞n-

析：（1）an｛｝是正項數列，畫出函數y=x與y=的圖象，記兩個圖象的交點為A，可以計算得點A的橫坐標為1，即1是的不動點。從圖象中可以看出an｛｝是遞增數列，且an∈（0，1）。事實上，

因為 an＞0，an-1＜0，根據保號性得-1＜0，所以 0＜an+1＜1，

（2）只需要證明（a1-1）+（a2-1）+…+（an-1）

也等價于證明（1-a1）+（1-a2）+…+（1-an）

數列遞推式對應函數為f（x）=ax2+bx+c利用圖象能看清背景的稍微少一些，因為以二次出現的遞推式最后的和式基本都是經過變形的。

三、歸納小結

通過以上例子分析可以看出，如果數列所對應的函數圖象能夠分成y=x與y=f（x）畫出，并找到不動點，根據圖象去證明函數的單調性情況，有界情況，證明和式的收斂性就可以迎刃而解，所以對此類問題的解決步驟可以歸納如下：

總之，數列題作為壓軸題出現時，一定是有難度的。這就要求教師在幫助學生進行數列備考時，要在學生創新意識培養方面多花時間和精力，要讓學生在掌握基礎知識和基本方法的基礎上，有多次解題思路的分析與嘗試的經歷，使他們具有在考場產生頓悟的能力。