從柯西不等式的證明過程談談構造法

孟憲華

（陜西省渭南市渭南高級中學）

例 1：設 a1、a2、…、an都是正數，求證：對任意的正整數 n，下面的不等式成立：

分析：我們可以構造二次函數 f（x）=（a1x+1）2+（a2x+1）2+…+（anx+1）2，顯然f（x）≥0

綜合二次函數的性質，我們可以得到：

即（a1+a2+…+an）2≤n·

例 2：已知 a，b，c∈R+，試比較的大小。

分析：我們可以構造二次函數

∴f（x）≥0

由二次函數的性質，我們可以得到：

4（a+b+c）2-4（）·2（a+b+c）≤0

上面的問題中，我們通過構造二次函數，利用二次函數的性質：f（x）≥0，其判別式Δ≤0，解決問題。我們考慮，如果二次函數的函數值并不都是正數時，即f（x）=0有兩個不相等的實數根，能不能用這個性質來解決一些問題呢？我們看一看下面這道題。

上面的解法，利用二次函數、二次方程、二次不等式三者之間的聯系，構造二次函數來證形如“a≤x0≤b”的不等式。為了證明a≤x0≤b 成立，構造函數 f（x）=（x-a）·（x-b）依據已知條件證明f（x）≤0，而a≤b，從而可以肯定（x0-a）·（x0-b）≤0，即a≤x0≤b。

例 4：已知 a，b，c∈R+，a+b＜2c 求證

分析：我們構造二次函數：

∵a，b，c∈R+，a+b＜2c

∴f（a）=a2-2ac+ab=a·（a+b-2c）＜0，

在高中階段，構造輔助函數是我們經常用到的方法之一。其基本思路是通過構造適當的函數，利用所構造的函數性來證明不等式或求解問題，高中生如果能掌握這種方法，對于日常的解題有很大幫助，有利于學習成績的快速提高。

［1］傅榮強.龍門專題（高中數學不等式）［M］.北京：龍門書局，2006.

［2］嚴士健，王尚志.數學（選修 4-5，不等式選沖）［M］.北京：北京師范大學出版社，2008.