“變”字當頭，提升數(shù)學思維能力

江蘇省淮陰師范學院附屬中學 徐 璐

變式訓練是一種非常有效的教學手段，教師通過變更問題情境或改變思維角度，引導學生從不同途徑尋求解決問題的方法，能夠高效地幫助學生發(fā)散思維，提高其獨立分析與解決問題的能力。因此筆者認為，教師在數(shù)學課堂上應當善于利用變式訓練的手段，引導學生多問、多思、多用，激發(fā)思維的積極性與深刻性。

一、多題一解，求同存異

多題一解指的是通過收集、比較一些存在內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學習題，引導學生找到解決這類問題的通性通法，求同存異，感悟其共性內(nèi)容。多題一解的變式訓練能夠有效促進學生認清問題的本質，提高他們推理、概括的思維能力。

比如筆者在對《一次函數(shù)》這一節(jié)的內(nèi)容進行教學時，列舉了以下三個習題讓學生們進行解答：（1）已知一次函數(shù)圖象過（0，4）、（-2，0）兩點，求該一次函數(shù)的解析式；（2）已知一次函數(shù)的圖象過（3，-3）點，并且與直線y=-2x+1相交于x軸上一點，求一次函數(shù)的解析式；（3）一次函數(shù)圖象過（3，0）點，且與正坐標軸所圍成的圖形面積為9，求一次函數(shù)的關系式。筆者通過引導學生對上述三個問題進行比較與分析，最終發(fā)現(xiàn)了這類問題共性的解決思路：首先根據(jù)已知條件寫出含有待定系數(shù)的函數(shù)表達式，然后從已知條件中找到x、y的兩對值代入函數(shù)關系式中，得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程，求解未知系數(shù)，最后再代入函數(shù)關系式中即可得解。三個問題的情境雖然不同，但問題的本質是相同的，例如問題（1）明確給出了一次函數(shù)圖象上的兩個點坐標，問題（2）與問題（3）雖然只給出了其中一個點的坐標，但是另一個點通過對已知條件進行轉化也可以得到，“與直線y=-2x+1相交于x軸上一點”可以得到一次函數(shù)圖象經(jīng)過點（0，1），“與正坐標軸所圍成的圖形面積為9”可以求得一次函數(shù)圖象經(jīng)過的另一點為（0，6）。

在上述教學活動中，筆者通過引導學生進行多題一解的變式訓練，促進他們在比較中感悟問題的共性之處，使學生們深入理解了待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的問題情境與具體解決思路，取得了很好的教學效果。

二、一題多解，觸類旁通

一題多解指的是引導學生對同一問題尋求不同的解決途徑，用多種方法思考問題。這種變式訓練方法能夠使學生的思路更加開闊，提高其發(fā)散性思維能力，促進學生觸類旁通，多向思考。

比如筆者在對《圖形的全等》這一節(jié)內(nèi)容進行教學時，讓學生們嘗試用盡可能多的方法解決如下問題：如圖，E是BC的中點，點A在DE上，且∠BAE=∠CDE，求證AB=CD。這一問題有很多的解法，例如存在解法一：如圖（1），作輔助線BF⊥DE于點F，CG⊥DE于點G，進而利用AAS公理可以證明△BFE≌△CGE，所以BF=CG。同樣利用AAS公理可以進一步證明得到△ABF≌△DCG，所以得到AB=CD。此外，學生們通過添加不同的輔助線可以得到不同的解決方法，比如如圖（2）所示，作CF∥AB，交DE的延長線于點F，首先證明△ABE≌△FCE，得到AB=CF，又因為∠F=∠BAE, ∠ABE=∠D，所以∠F=∠D，CD=CF，進而得到AB=CD。又比如如圖（3），延長DE至點F，使EF=DE，進而由SAS公理得到△BEF≌△CED，所以BF=CD,∠D=∠F。又因為∠D=∠F=∠BAE，所以△ABF是等腰三角形，進而得到BF=AB=CD，得解。

在上述教學活動中，筆者引導學生們進行了一題多解的變式訓練，使學生們發(fā)現(xiàn)添加不同的輔助線可以得到不同的解決思路，拓展了學生的思維，同時促進他們善于通過轉化從各種途徑去解決問題，提高思維的靈活性，豐富了數(shù)學課堂。

三、一題多問，發(fā)展擴充

一題多問指的是教師對課本例題、習題進行“改裝”或引申，通過變式對原來的問題進行發(fā)展與擴充，既延展了問題的寬度，更深化了學生對數(shù)學新知的認識，無形中加深了學生對問題的深度理解。這一變式訓練的方法有助于培養(yǎng)學生的問題意識與探究能力，提高其創(chuàng)造性思維。

比如筆者在對《二次函數(shù)》這一節(jié)內(nèi)容進行教學時，采用了一題多變的教學策略。筆者首先引出了如下例題：如圖：已知拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為x=-1，與x軸交于A、B兩點，其中A點的坐標為（-3，0）。（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使PA+PD的值最小？若存在，請求出P點坐標。對于這一問題，學生們用待定系數(shù)法很快求得拋物線解析式為y=x2+2x-3，繼而可得到其對稱軸及B點坐標。由于A、B關于拋物線對稱軸對稱，連接BD，BD與拋物線對稱軸的交點即為所求的P點。緊接著筆者提問道：“那么在拋物線上是否存在點E，使S△ABC=S△ABE？若存在，求出E點的坐標。” 通過對原來問題進行變式，筆者引導學生們進一步鞏固了軸對稱的性質、平面圖形的面積計算等知識點。

在上述教學活動中，筆者通過一題多問對相關習題進行了深度挖掘，不僅促進學生們在變式訓練的過程中扎實牢固地掌握了基礎知識，激活了學生的思維，同時也提高了他們的探究與歸納能力，發(fā)展了學生的數(shù)學能力，高效完成了既定的教學目標。

綜上所述，多題一解、一題多解、一題多問等策略都是重要的變式訓練手段，能夠幫助學生發(fā)現(xiàn)問題的本質，深化鞏固知識，培養(yǎng)學生探究、推理、歸納、聯(lián)想等思維能力，同時，在這樣的教學中，學生的數(shù)學素養(yǎng)自然也在教師的點滴教學中得以提升。總之，教師根據(jù)教學內(nèi)容與目標引導學生進行相關的變式練習，對于提高學生的數(shù)學素質具有重要的意義，當代教師應當善于通過“變”字提升學生的數(shù)學思維能力！