數形結合在初中數學教學中的應用

江西省吉安市青原區富灘中學 沈志有

教學過程是一個提出問題和解決問題的過程，在這個過程當中，學生才是教育的主體。初中數學教學對于數學的學習歷程來講是一個十分重要的時期，在這個時期中，學生要在教師的帶領之下學會用函數等重要思想進行解題，熟練掌握基本數學運算方法，學會根據已知列方程并進行求解。初中的學習不僅是對于小學知識的延伸與提升，更是為以后高中的學習生活打下堅實的基礎。因此，教師要強化學生的基礎練習，訓練學生的知識運用能力。在此，本文以數形結合的解題方法為例介紹其在教學中的應用及作用。

一、數形結合對于初中數學的重要意義

1.有利于基礎知識的掌握

在初中數學中，數形結合是最常用的一種方法之一，許多類型的習題都可以運用數形結合的思想來解決。數形結合通過“以形助數，以數解形”，考查學生知識的掌握程度。數與形是初中數學基本研究對象，數主要包括數字與列式，形則主要包括圖象與幾何圖形。對于剛剛上初中的學生來講，以往的數字都是建立在實際生活中的，而有理數、無理數等較為抽象的數字概念則比較難理解，而這時數軸的引入則形象地表達了有理數與無理數的區別，幫助學生理解與分辨。同時，函數思想的建立也是初中數學的重要目標之一。教師可以借助平面坐標系確定不等式、一元二次方程、二元一次方程的取值范圍、最值以及進行對稱變換、平移轉換等問題的研究；或借助表格、條形圖、樹狀圖等統計方式進行概率的計算。通過數形結合的方式，使抽象的數字或性質等顯得更為直觀，化繁為簡，便于教師教學講解與學生理解。

2.提高分析創新能力

現今素質教育提倡發散學生的創新思維，培養其自主學習能力。所以教師在教授學生解題的同時更要注意方法的傳授。數形結合的思想是初中解題的核心方法。熟練掌握數形結合的方法，可以令復雜抽象的題干清晰直觀地展現出來，便于進行分析解題。此外，學生在通過圖形解題的時候，常常需要自己作一條線垂直或平行于某一條已知線的輔助線，往往這條輔助線就是解題的關鍵所在，而做出這條線就需要學生能夠有敏銳的觀察力與題干分析能力，從已知中分析題意，并進行適當的創新，真正令所學為自己所用，從而達到教學的目的。

二、利用數形結合進行解題

1.對于一元二次方程問題進行求解

一元二次方程是二次函數的基礎，也是初中數學教學的重點內容。對于剛上初中的學生來講，學會運用函數圖象解題是一項質的飛躍。教師在講解有關一元二次問題的時候，要盡量運用圖象講解，讓學生熟悉方程及圖象的關系，學會主動利用數形結合的方法解題。例如對于這道題：若關于x的方程x2+2kx+3k=0的兩個根都處于-1到3之間，求k的取值范圍是多少。在了解題意之后，教師可以有如下解答：“令f(x)=x2+2kx+3k,由題意并結合此方程的圖象（如圖1）可知：f（-1）＞0，f（3）＞0，f（-k）≤ 0，即（-1）2+2k×（-1）+3k＞0，32+2k×3+3k＞0，（-k）2+2k×（-k）+3k≤ 0， 最 后 解得：-1＜k≤0或k≥3。”由此，教師可以直觀高效地完成教學任務，學生學起來會感覺更加輕松愉悅，也在一定程度上預防學生對于學習數學產生厭惡感，避免厭學心理。

圖1

2.對于平面幾何題進行求解

初中數學開始了對于平面幾何的研究，為以后高中學習立體幾何打下基礎。因此，應令學生熟練掌握各個圖形的性質，如三角形的外心、垂心、重心、圓的圓心等；各種定理，如平行線定理、勾股定理、射影定理等；再或者圖形之間的關系，如我們經常用數來描述點與圓的位置關系、直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系等。平面幾何這類題經常會考查學生對于以上種種定理及性質的綜合運用，綜合性較強。例如下面這道證明題：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=CB,∠ABC=60°，∠ADC=120°，請你猜想線段DA，DC之和與線段BD之間的數量關系，并證明你的結論。

圖2

圖3

對于這道題，教師可以有如下解答：如圖3，延長CD至E，使DE=DA，可以證明三角形EAD是等邊三角形，連接AC，可得三角形BAD與三角形CAE全等，故AD+CD=DE+CD=CE=BD。通過圖形的延長或變換，在做題中培養學生的創新思維，靈活機動地通過已知條件尋找解題思路。

所謂數形結合，就是將數與形這兩個基本的數學元素結合起來，根據數與形之間的對應關系，通過二者間的互相轉化來解決數學問題，使復雜的數學問題變得一目了然，易于理解。數形結合思想是初中數學中最常用的一種思想方法，因此在教學中，老師應該注重學生數形結合意識的培養，使其形成嚴密的數理邏輯思維；同時學生也應該加強數形結合方法的應用，明確其重要作用。只有這樣，學生才能提高數學成績，為以后的學習打下基礎。

[1]歐小南.初中幾何的第一次質的飛躍[J].小作家選刊,2015（25）.

[2]李楠.慧眼看清圓與圓的位置關系[J].數學大世界,2013（120）..