一道題、一條線、一節(jié)課
——《一元二次方程根的判別式》的課堂教學(xué)有感

新疆烏魯木齊市第十三中學(xué) 張清華

一、溫故引課

開課我先復(fù)習(xí)板書了一元二次方程的一般形式和求根公式：

同時(shí)帶學(xué)生復(fù)習(xí)了根的判別式的作用，板書出根的判別式與一元二次方程根的三種形式：

b2-4ac＞0 一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；

b2-4ac=0 一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)根；

b2-4ac＜0 一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

二、新知探索，歸納整理

1.出示方程：（m-1）x2+2mx+m+2=0，請(qǐng)學(xué)生指出方程中的a，b，c。a=m-1，b=2m，c=m+2。

2.提出質(zhì)疑，讓學(xué)生去設(shè)計(jì)探索：若我們要探索這個(gè)方程根的情況，你可否設(shè)計(jì)一道題目？（在此讓學(xué)生進(jìn)行自主探究，并通過(guò)實(shí)物展臺(tái)讓學(xué)生展示自己設(shè)計(jì)的問(wèn)題，之后教師進(jìn)行題目的歸納）

類型1：

（1）關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+2mx+m+2=0，

有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是____________。

（2）關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+2mx+m+2=0，

有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是____________。

（3）關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+2mx+m+2=0，

沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是______________。

類型2：

（1）關(guān)于x的方程（m-1）x2+2mx+m+2=0，

有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是____________。

（2）關(guān)于x的方程（m-1）x2+2mx+m+2=0，

有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是____________。

（3）關(guān)于x的方程（m-1）x2+2mx+m+2=0，

有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是______________。

和學(xué)生一起歸納以上的題目，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、分析、匯總。

三、例題精講，題后反思

匯總歸納中將以上各題逐一講解完成，之后從以上題目中選取幾個(gè)作為例題重點(diǎn)板書講解，以規(guī)范書寫格式。

例1 （1）關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+2mx+m+2=0，

當(dāng)m_______時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

【設(shè)計(jì)意圖】 通過(guò)此例題的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生掌握書寫格式。

（2）關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+2mx+m+2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍。

【設(shè)計(jì)意圖】 此題設(shè)計(jì)的目的是改變問(wèn)法，同時(shí)強(qiáng)化學(xué)生解題時(shí)要關(guān)注a是否為字母，進(jìn)而強(qiáng)化不忽視a≠0這一條件。

變式1：關(guān)于x的方程（m-1）x2+2mx+m+2=0，當(dāng)m取何值時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根？某同學(xué)的解法如下，你認(rèn)為正確嗎？如不正確，如何改正？

在此讓學(xué)生進(jìn)一步討論后再作答，將此題目與例1作比較，加強(qiáng)審題中注意細(xì)節(jié)變化。

【設(shè)計(jì)意圖】 此題難度上升，讓學(xué)生關(guān)注“關(guān)于x的方程”與“有實(shí)根”這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的把握，同時(shí)板書過(guò)程，以規(guī)范學(xué)生的書寫。

變式2：關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+2mx+m+2=0沒(méi)有實(shí)數(shù)解，化簡(jiǎn)

解：a=m-1，b=2m，c=m+2，

∵方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，

∴8-4m＜0且m-1≠0，解得m＞2。

【設(shè)計(jì)意圖】 此題設(shè)計(jì)的意圖：（1）當(dāng)8-4m＜0且m-1≠0 時(shí)，解出m＞2，已經(jīng)存在m≠1，所以最后的結(jié)論只有m＞2，這一細(xì)節(jié)是學(xué)生易錯(cuò)的點(diǎn)，再次通過(guò)此題加以強(qiáng)化；（2）將此類題與其他的知識(shí)點(diǎn)融合在一起，加強(qiáng)知識(shí)的綜合應(yīng)用。

【歸納整理】 完成這幾道例題后，及時(shí)帶領(lǐng)學(xué)生加以歸納總結(jié)，如下：

1.見(jiàn)到題目先要關(guān)注前提條件是“關(guān)于x的方程”還是“關(guān)于x的一元二次方程”；

2.若是一元二次方程，千萬(wàn)莫忽略了“a≠0”。

四、鞏固拓展、提高延伸

出示兩個(gè)不同的題型，讓學(xué)生熟悉根的判別式的應(yīng)用。

1.求證：關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+2mx+m+2=0恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

2.關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+2mx+m+2=0的根的判別式為4，求方程的根。

五、課后小結(jié)，思路匯總

提問(wèn)學(xué)生反思：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你最大的收獲是什么？

之后一起歸納：

（1）見(jiàn)到“實(shí)數(shù)根”，先看是“關(guān)于x的方程”還是“關(guān)于x的一元二次方程”，判斷解題方法；

（2）“關(guān)于x的方程”與“實(shí)數(shù)根”同時(shí)出現(xiàn)，要特別注意分類討論，不要忽略了方程為一元一次方程的情況；

（3）“關(guān)于x的一元二次方程”見(jiàn)到了“實(shí)數(shù)根”，要想到計(jì)算“根的判別式”，且莫忘“a≠0”。

在學(xué)生的動(dòng)手動(dòng)腦中，本節(jié)課的重難點(diǎn)得以逐步解答和強(qiáng)化，尤其是在學(xué)生的參與中，將細(xì)節(jié)變化中可能出現(xiàn)的問(wèn)題及時(shí)呈現(xiàn)反饋，且得到仔細(xì)的分析比較，使學(xué)生對(duì)此知識(shí)的理解起到了很好的作用。

總之，一節(jié)課，一道題，一條線，變化中得到拓展，探索中得到升華。數(shù)學(xué)課堂的精彩在于此，數(shù)學(xué)教學(xué)的魅力也在于此！

[1]劉作兵.一元二次方程的教學(xué)反思[J].科學(xué)咨詢(教育科研)，2012（07）.

[2]賴寧.關(guān)于《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中一元二次方程的內(nèi)容研究[D].西南大學(xué)，2008.