基于Matlab的RV減速器回差計算分析

楊瑞超，李 良，董紅衛(wèi)

（西安航天精密機電研究所，陜西 西安 710100）

0 引言

RV減速器是目前在工業(yè)機器人關(guān)節(jié)中應(yīng)用最為廣泛的兩種減速裝置之一（另一種為諧波減速器）[1]。RV傳動是在擺線針輪傳動基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種多級、大速比行星式傳動。它采用共用曲柄軸和中心圓盤支撐的結(jié)構(gòu)形式組成封閉式差動傳動，使其具有傳動比大、剛度大、運動精度高、傳動效率高、回差小、傳動平穩(wěn)等優(yōu)點[2]。

回差是指輸入軸反向轉(zhuǎn)動時，輸出軸在運動上滯后于輸入軸的現(xiàn)象。根據(jù)產(chǎn)生的原因，回差可以分為三大類：幾何回差、溫度回差和彈性回差。本文僅分析幾何回差：單純由于傳動件幾何尺寸、形狀方面的原因所產(chǎn)生的回差。

應(yīng)用于工業(yè)機器人關(guān)節(jié)中的RV減速器對回差有著較高的要求，一般要求不超過1′。RV減速器公差設(shè)計的過程，就是要把1′的許用回差分配到各個零件的公差中。為此，就必須先搞清楚各零件尺寸公差對RV減速器回差的影響。

1 回差模型建立

RV減速器是由漸開線齒輪行星傳動和擺線針輪行星傳動組成的封閉差動輪系，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。

從其結(jié)構(gòu)可以看出，RV減速器總的回差是由漸開線齒輪行星傳動引起的回差和擺線針輪傳動引起的回差兩部分合成。擺線針輪傳動部分的回差會直接反映到輸出軸的回差，影響程度較大，而漸開線齒輪傳動對整機回差的影響還要考慮一個傳動比，因而影響要小得多[3]。下面針對各主要影響因素分析其對整機回差的影響。

圖1 RV減速器結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of RV reducer

1.1 漸開線傳動級回差計算模型

在漸開線齒輪傳動級中，影響該部分回差的主要因素有[4]：①公法線長度平均偏差引起的齒輪側(cè)隙；②中心距偏差引起的齒輪側(cè)隙；③齒輪齒圈徑向跳動引起的齒輪側(cè)隙；④齒輪軸線平行度誤差引起的齒輪側(cè)隙；⑤齒輪徑向綜合誤差引起的齒輪側(cè)隙（包括齒形誤差、周節(jié)極限偏差）；⑥滾動軸承偏心引起的齒輪側(cè)隙；⑦鍵與槽的間隙引起的齒輪側(cè)隙。

（1）公法線長度平均偏差△EW對輸出軸回差的影響。由于△EW一般取負(fù)值，公法線長度平均偏差造成的減速器回差。

式中：△EW—公法線長度平均偏差；α—齒輪壓力角；BtEw—公法線長度平均偏差引起的輸出軸回差（′）；r1—漸開線中心輪分度圓半徑（mm）；i—RV傳動的傳動比。

（2）中心距偏差對輸出軸回差的影響。中心距偏差造成的減速器回差為：

（3）齒圈徑向跳動誤差△Fr對輸出軸回差的影響。齒圈徑向跳動造成的減速器回差為：

式中：BtFr—齒圈徑向跳動造成的輸出軸回差 （′）；△Fr—齒圈徑向跳動誤差。

其余影響因素的計算模型在此不進(jìn)行詳細(xì)介紹，具體可參閱文獻(xiàn)[5]。

因此，漸開線傳動部分的總回差為：

1.2 擺線針輪傳動級回差計算模型

擺線針輪行星傳動在實際應(yīng)用時，為補償制造誤差，通常會對擺線輪進(jìn)行一定的修形。同時，由于裝配關(guān)系復(fù)雜，會形成一定的裝配間隙。因此，影響擺線針輪傳動部分回差的因素較多，主要誤差因素有[4]：①擺線輪修形引起的嚙合間隙；②擺線輪修形誤差引起的側(cè)隙；③針齒中心圓半徑誤差引起的側(cè)隙；④針齒銷半徑誤差引起的側(cè)隙；⑤針齒銷與針齒銷孔配合間隙；⑥擺線輪齒圈徑向圓跳動引起的側(cè)隙；⑦針齒銷孔圓周位置度引起的側(cè)隙；⑧擺線輪周節(jié)累積誤差引起的側(cè)隙；⑨曲柄軸承的間隙引起的側(cè)隙。

（1）擺線輪修形對輸出軸回差的影響。移距修形的方法是將磨輪向工作臺中心移動一個距離△rp，因此針齒中心圓半徑將縮小為rp-△rp。等距修形的是將磨輪半徑由標(biāo)準(zhǔn)的rrp增大到rrp-△rrp。轉(zhuǎn)角修形量大小就是由其所造成回差的大小。根據(jù)擺線輪的幾何關(guān)系可推出，三種修形方式引起的輸出軸回差為：

實際應(yīng)用中，一般采取移距加等距修形的方式，故上式中第三項可不予考慮。

（2）針齒中心圓半徑誤差對輸出軸回差的影響。針齒中心圓半徑誤差與移距修形對回差的影響相似，故針齒中心圓半徑誤差引起的輸出軸回差為：

（3）擺線輪周節(jié)累積誤差對輸出軸回差的影響。擺線輪周節(jié)累積誤差是由單個齒距偏差引起的累積偏差，其引起的輸出軸回差為：

式中：△Fp—擺線輪周節(jié)累積誤差（mm）。

（4）曲柄軸承間隙對輸出軸回差的影響。當(dāng)RV減速器曲柄軸承存在游隙時，擺線輪嚙合轉(zhuǎn)動后，必須先消除軸承游隙的影響才能夠引起輸出，消除軸承游隙所引起的輸出軸回差為：

擺線針輪傳動級其余因素的計算模型在此不進(jìn)行詳細(xì)介紹，具體參閱文獻(xiàn)[5]。

根據(jù)以上各數(shù)學(xué)模型，擺線針輪傳動部分的總回差為

1.3 RV減速器總回差概率計算

RV減速器總的輸出軸回差是漸開線傳動和擺線針輪傳動部分引起的回差的代數(shù)和，即RV減速器總的回差為：

回差可以采用概率統(tǒng)計的方法進(jìn)行計算。由于各誤差不可能同時取最大或最小，因此采用概率統(tǒng)計的方法可以避免因極值計算而導(dǎo)致的精度選擇上的浪費，計算也更貼近實際。

根據(jù)工程經(jīng)驗可知，機械加工誤差一般服從正態(tài)分布，而偏心類誤差基本服從瑞利分布。根據(jù)誤差所服從的分布可以得出各誤差的均值和方差。

回差分常值回差和可變回差，需分開計算。單個齒輪的常值回差Bc的計算公式如下：

單個齒輪由于偏心造成的可變回差Bv的計算公式為：

式中：μi、σi—偏心的單獨徑向分布參數(shù)。

整個傳動鏈總的輸出軸可變回差是通過把各偏心誤差造成的輸出軸回差相加求得的，即：

而整個傳動鏈的總回差是常值回差和可變回差兩部分的統(tǒng)計結(jié)果之和，計算公式如下：

RV減速器總的輸出軸回差可通過下式計算

2 RV減速器回差各影響因素的敏感性分析

2.1 敏感性分析原理

對于函數(shù) Y=Y（x1，x2，…，xn），當(dāng) xi存在誤差△xi，并在較小的情況下按泰勒級數(shù)展開，略去高階偏導(dǎo)項，可得到誤差計算方程式為；

對上式兩邊同時減去 Y（x1，x2，…，xn），可得 Y=Y（x1，x2，…，xn）在（x1，x2，…，xn）處的誤差△Y 為：

一般，將敏感性指數(shù)定義為：

上式中的?Y/?x0是作為參照的一個誤差參數(shù)，即參照的誤差參數(shù)的敏感性指數(shù)為1，而其它誤差參數(shù)的敏感性指數(shù)與參照誤差參數(shù)的比較。通過敏感性指數(shù)的計算，可以得出各誤差參數(shù)△xi對函數(shù)結(jié)果△Y的貢獻(xiàn)大小，從而可以確定對函數(shù)影響最大的誤差參數(shù)。當(dāng)xi的值確定時，偏導(dǎo)數(shù)?Y/?xi為常數(shù)，因而上式可寫為：

同樣，敏感性指數(shù)也可表示為

2.2 RV減速器回差各誤差因素的敏感性計算

前述得出了各誤差因素對輸出軸回差影響的計算公式，可以看出影響回差的因素非常多，但各因素對輸出軸回差的影響程度卻差別較大。本節(jié)的敏感性分析就是要了解各誤差因素對輸出軸回差的影響程度，并在設(shè)計制造過程中加以控制對回差影響較大的因素。

以項目組設(shè)計的RV-20E-81型減速器的設(shè)計參數(shù)為例，敏感性指數(shù)計算所使用的基本參數(shù)如表1所示。根據(jù)前述所建立的RV減速器各因素對輸出軸回差影響的數(shù)學(xué)模型，以針齒中心圓半徑誤差作為參照，按照敏感性分析原理，計算RV減速器各誤差因素的敏感性指數(shù)如表2所示。

表1 RV-20E-81減速器基本參數(shù)Tab.1 Basic parameters of RV-20E-81 reducer

表2 RV-20E-81減速器回差因素敏感性指數(shù)Tab.2 Sensitivity indexes of backlash factors for RV-20E-81 reducer

3 計算實例

根據(jù)前述所建立的RV減速器回差概率計算模型，利用科學(xué)計算軟件Matlab編寫相應(yīng)計算程序，并利用Matlab軟件的GUI模塊編制出操作界面?？梢栽诓僮鹘缑嫔峡焖僬{(diào)整尺寸公差值，并實現(xiàn)一鍵式計算。以項目組設(shè)計的RV-20E-81型減速器為例，計算其回差。列出減速器傳動鏈的設(shè)計細(xì)則如表3和表4所示，其中行星齒輪與偏心軸聯(lián)接采用矩形花鍵過盈聯(lián)接。

將RV-20E-81減速器的基本參數(shù)以及上述設(shè)計細(xì)則輸入計算程序中，計算界面如圖2所示，可以看出計算出的總回差為 3.59（″）～73.12（″），說明所設(shè)計的 RV-20E-81減速器滿足回差要求。

表3 漸開線傳動級設(shè)計細(xì)則（單位：μm）Tab.3 Design details of involute transmission（unit：μm）

表4 擺線針輪傳動級設(shè)計細(xì)則（單位：μm）Tab.4 Design details of cycloid transmission（unit：μm）

從計算實例可以看出，所編制的RV減速器回差計算軟件非常實用，在RV減速器設(shè)計階段，利用回差計算軟件結(jié)合前面所做的誤差敏感性分析，通過調(diào)整對輸出軸回差影響較大的因素，可以快速的得出合適的公差分配，可以有效的提高設(shè)計效率。

4 結(jié)論

圖2 RV減速器回差計算軟件界面Fig.2 Backlash calculation software for RV reducer

本文詳細(xì)介紹了RV減速器的回差影響因素，應(yīng)用概率統(tǒng)計的方法建立了RV減速器的計算模型。并對RV減速器回差各誤差因素作了敏感性分析，得出了各誤差因素對RV減速器輸出軸回差的影響關(guān)系。以項目組設(shè)計的RV-20E-81型減速器為例，應(yīng)用概率統(tǒng)計的方法計算出了該型減速器的回差。編制了RV減速器回差計算軟件，利用該軟件結(jié)合敏感性分析可以快速實現(xiàn)各零件的公差分配，可以有效的提高設(shè)計效率。

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