基于自由度變動的平面要素尺寸公差數(shù)學模型

邱義臻,熊 焰,劉方方

（宿遷學院 機電工程系，江蘇 宿遷 223800）

0 引言

實現(xiàn)CAD/CAM有效集成，有利于縮短產(chǎn)品設(shè)計周期，降低產(chǎn)品的成本，提高產(chǎn)品的質(zhì)量和性能，增強市場競爭力與提升市場份額。在目前CAD軟件系統(tǒng)中，其核心是一個實體造型器，名義幾何信息能夠得到很好表達，而變動幾何信息（如公差信息）卻是以文本/注解的形式存儲在計算機中，不能用于計算機輔助公差分析與綜合，這阻礙了產(chǎn)品設(shè)計的自動化，成為CAD/CAM有效集成的瓶頸[1]，因此，公差信息是CAD/CAM有效集成中必需的信息之一。在計算機中表示公差信息，就是在計算機中對某一實體模型或特征模型進行準確無誤的公差表述，一是公差信息以一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)形式存在（包含于現(xiàn)有的CAD系統(tǒng)中）；二是用數(shù)學的方法描述與解釋公差信息，必須與公差標準（產(chǎn)品幾何規(guī)范標準體系GPS）一致，要求完整、有效、準確。建立公差數(shù)學模型，對CAD系統(tǒng)中包含公差信息的語義作出正確的解釋，從而使之在CAD/CAM集成中發(fā)揮重要作用。基于自由度變動的平面要素尺寸公差數(shù)學模型研究，以現(xiàn)行國家標準和公差的數(shù)學定義為基礎(chǔ)，給出平面要素基于自由度變動的數(shù)學表示方法，并對尺寸公差進行數(shù)學定義，建立基于自由度變動的平面要素尺寸公差變動數(shù)學模型。

1 平面要素的自由度

機械零件是由構(gòu)成其幾何特征的若干點、線、面構(gòu)成的，這些統(tǒng)稱為幾何要素[2]。機械零件幾何要素也具有類似剛體的自由度特性，但與剛體的自由度不同的是幾何要素存在恒定度[3]，即自由度數(shù)量少于6個（F=6-n，式中：n是恒定度），所謂恒定度就是幾何要素沿某方向運動（平動或轉(zhuǎn)動）時不產(chǎn)生新的實體。平面要素具有3個自由度，法線方向的1個平移自由度和平面內(nèi)的2個轉(zhuǎn)動自由度，如圖1所示，沿Z坐標軸方向的平移自由度Tz和繞X、Y坐標軸的轉(zhuǎn)動自由度 Rx、Ry。

圖1 平面的自由度

2 平面要素基于自由度變動的數(shù)學表示

2.1 公差坐標系的建立

公差坐標系用來確定平面要素自由度方向，表示平面要素相對于公稱位置在方向、位置上的變動情況。如圖2所示，坐標系應(yīng)建立在平面要素的公稱位置上，公差坐標系的原點與平面要素的中心重合，Z軸為平面要素的固有方向，即同向自由度方向（法向），表示平移自由度，X軸和Y軸分別表示2個轉(zhuǎn)動自由度。

2.2 平面要素基于自由度變動的數(shù)學表示

在平面要素3個自由度Z、α、β方面分別給定一變動dz、dα、dβ，如圖 2 所示，則其的變動方程為：

寫成平面要素的一般表示形式：

式中：A=dβ，B=dα，C=-1，D=dz

其公稱平面要素的方程為：

根據(jù)式（1）～（3）可知，平面要素的數(shù)學方程可以通過其自由度變動來表示，即只要給出其自由度變動，就反映出平面要素的變動情況，因此，可以將其自由度變動定義為模型的設(shè)計變量。

圖2 坐標系及平面幾何要素的變動形式

3 平面要素的尺寸公差數(shù)學模型

機械零件上平面要素的公差是控制平面要素在尺寸、形狀、方向及位置上偏離理想狀態(tài)的程度，因此，建立平面要素的尺寸公差數(shù)學模型，就是數(shù)學的方式來描述和解釋公差信息中成員的含義，一是平面要素公差域（公差域是指允許尺寸、形狀和位置變動的區(qū)域，在幾何上表現(xiàn)為兩個相距為公差值大小t的兩平行平面之間的區(qū)域）的形成與表示；二是變動后平面要素的形成與表示。如圖3所示，用任意位置平面說明公差域及變動后平面要素的形成與表示。

3.1 平面要素尺寸公差域邊界的數(shù)學模型

圖3 確定任意位置平面的組成要素的尺寸及公差

圖4 公差坐標系

如圖4所示，在該坐標系中，平面的組成要素A點、B點、C點的坐標分別為：

其中：

如圖4所示，在該坐標系中，平面尺寸公差域上限平面組成要素As點、Bs點、Cs點的坐標分別為：

上式中 α1、β1、γ1分別為點 A、B、C 處所加公差約束的方向，α2、β2、γ2分別為點 A、B、C 處所加公差約束方向在xoy平面上的投影與x軸的夾角。由于Tes.A、Tes.B、Tes.C要遠遠小于 a、b、c，故 As、Bs、Cs的坐標可簡化為：

故平面要素尺寸公差域上限平面的方程為：

其中：

因此，可以得出平面要素公差域上限平面的模型變量為：

同理，可求出平面要素公差域下限平面的模型變量為：

3.2 變動平面的數(shù)學模型

平面要素的公差域為兩個相距為公差值大小t的兩平行平面之間的區(qū)域。顯然，在求出了的尺寸公差域邊界的數(shù)學模型之后，即確定了變動平面的變動范圍。

因此，對變動平面模型變量的約束范圍，即為平面要素公差域的上下邊界（上邊界zmin、下邊界zmax）。具體表示為：

變動平面的約束范圍為：

式中：z0=min｜｜zmin，zmax｜｜；z1和 z2分別為尺寸公差域的下邊界和上邊界。

用任意位置平面說明建立平面要素的尺寸公差數(shù)學模型，解釋公差信息中每一個成員的含義，具有一定普遍性和通用性。

4 結(jié)論

基于自由度變動的平面要素尺寸公差數(shù)學模型的建立，以自由度變動作為平面要素尺寸公差模型變量，用任意位置的平面要素分析了平面要素尺寸公差數(shù)學模型的公差域邊界、變動要素的模型變量，完整準確地表示出尺寸公差的語義，這對于CAD/CAM集成有著十分重要的意義。

[1]張馬彪，葉曉平，劉玉生，等.基于自由度變動的直線尺寸公差數(shù)學模型[J].工程設(shè)計學報，2009，6.

[2]甘永立.幾何量公差與檢測[M].上海：上海科學技術(shù)出版社，2010.

[3]吳玉光，張根源.基于幾何要素控制點變動的公差數(shù)學模型[J].機械工程學報，2013，3：138～146.