基于最大似然估計的16APSK載波捕獲算法研究

馮曉文，李慶坤，任 彬

(1.中國電子科技集團公司第五十四研究所，河北 石家莊 050081；2.石家莊鐵道大學 機械工程學院，河北 石家莊 050043)

0 引言

在衛星通信中，16APSK是一種極具潛力、利用載波幅度和相位同時承載信息的混合調制方式，在DVB-S2標準中已采用該調制方式[1]。16APSK的頻譜利用率為4 bit/s/Hz，是BPSK體制的4倍。此外，相比于32APSK和64APSK，16APSK具有較低的復雜度，是一種折中的調制方式[2]。

接收機收到16APSK信號之后要在較短時間內完成載波同步，才可以進行有效的解調。載波捕獲是完成載波同步的關鍵[3-4]。對于16APSK調制信號的載波捕獲，一般有數據輔助和非數據輔助2種方法。數據輔助的方法是指采用低階調制信號作為導頻數據，輔助16APSK信號的捕獲，但導頻數據會占用一定的數據資源[5]。非數據輔助的方法是指直接對16APSK信號進行捕獲，一般需要去除信號數據中的調制相位[6]，做FFT運算恢復載波，去除數據調制相位的過程一般是非線性運算，非線性運算會帶來噪聲的放大，因此在低信噪比條件下16APSK信號的捕獲比較困難。

最大似然估計是一種未知參數估計的重要方法，可用于載波的頻偏估計[7-10]，該方法無需對16APSK信號進行非線性運算，同時具有較高的估計精度。Kalman濾波是在最小均方誤差估計基礎上發展起來的一種遞推估計算法[11]，可以最大限度地抑制信號中的噪聲，降低噪聲對頻偏估計的影響。文獻[12]提出了一種結合最大似然估計和Kalman濾波的方法，應用在BPSK的載波跟蹤，在估計中采用平方變換去除調制信息。本文把結合最大似然估計和Kalman濾波的方法應用于16APSK的載波頻偏捕獲。該方法直接對包含載波頻偏信息的16APSK信號相位序列進行最大似然頻偏估計，并結合Kalman濾波，降低噪聲對載波頻偏估計的影響。

1 16APSK信號模型

16APSK的星座圖由內外2個同心圓組成，研究較多的是4+12形式的16APSK[13]，即內圓有4個星座點，外圓有12個星座點。其星座點表達式為：

(1)

式中，r1和r2分別為內圓和外圓的半徑，r2/r1=2.7；θ1和θ2分別為內圓和外圓上信號點的初始相位，這里θ1=π/4，θ2=π/12。

2 基于16APSK的最大似然估計算法

在無線通信中，最大似然估計常用于信號的載波頻率估計。本文中，最大似然估計被應用于接收機中16APSK信號的載波頻偏估計。假設接收機收到的16APSK信號為：

y(t)=a(t)cos(wit+θi)+b(t)sin(wit+θi)，

(2)

式中，a(t)和b(t)分別指同相正交分量的值，a(t)=real[Z(t)]，b(t)=imag[Z(t)]；wi和θi分別為接收信號的載波頻率和相位。接收機的本振正交信號為：

(3)

式中，wo和θo分別為接收機本振的頻率和相位。接收信號經過下變頻處理，再通過低通濾波器濾除倍頻分量，得到含有載波頻偏的正交同相信號：

(4)

式中，Δw=wo-wi=2πΔf，Δθ=θo-θi+arctan[b(t)/a(t)]。Δf和Δθ是經過下變頻低通濾波之后的殘余頻偏和相偏。由于Δθ可以通過鎖相環捕獲跟蹤，因此本文只討論Δf的估計。

可知，Δf是正弦函數的一個參數，如果已知正弦函數的采樣樣本，就可以通過最大似然估計對參數Δf進行估計。假設獲得含有載波頻偏的正交同相數字信號分別如下：

(5)

式中，k=0，1，...，K為采樣樣本的序列號；Ts為采樣的周期；n(k)為均值為零、方差為σ2的離散高斯白噪聲。在高信噪比條件下(信噪比大于10 dB)，式(5)中序列的離散相位信息在[-π，π]的一個2π周期內，其相位信息可以計算如下：

(6)

(7)

x(k)=2πkTsΔf+Δθ+v(k)，

(8)

式中，v(k)是由高斯白噪聲引入的等效相位噪聲[7]，其統計特性近似均值為零、方差為σ2的高斯分布。將式(8)寫成向量的形式為：

X=Δfα+Δθβ+V，

(9)

式中，

X為服從高斯分布的隨機矢量，其概率密度函數為：

(10)

式中，‖·‖2定義為‖X‖2=XTX。

使fx(X)的對數概率密度函數logfx(X)關于Δf和Δθ的梯度為零，即Δf，Δθlogfx(X)=0，可以獲得關于Δf和Δθ的二元線性方程組，求得殘余頻差Δf的最大似然估計[7]為：

(11)

在上述算法中，最大似然估計使用的相位序列沒有去除數據調制信息，這樣避免了去除調制數據的非線性處理，但頻偏估計使用的相位序列需要在一個調制數據符號內。通過該最大似然頻偏估計算法，可以獲得16APSK調制信號的載波頻偏，該方法在高信噪比(信噪比大于10 dB)的情況，可以獲得較準確的頻偏估計[14]。在低信噪比的情況下，受噪聲的干擾，頻偏估計值偏差較大。因此，結合Kalman濾波抑制噪聲是一種較好的解決方案。

3 結合Kalman濾波和最大似然估計的頻偏估計算法

最大似然估計獲得的頻偏值受到噪聲的干擾總是在均值附近上下波動，為了得到頻偏的無偏最小方差估計，可以對估計出來的頻偏進行Kalman濾波。Kalman濾波是解決以最小均方誤差為準則的最佳線性過濾問題，該算法根據前一個估計值和最近一個觀測數據來估計信號的當前值[15]。Kalman濾波算法由狀態空間來描述，其遞推公式如下所示[16-17]。其狀態預測為：

(12)

P(k+1|k)=ΦP(k|k)ΦT+ΓQΓT，

(13)

式中，P(k|k)為k時刻協方差陣值；P(k+1|k)為k+1時刻協方差陣的預測值；Γ為噪聲驅動矩陣；Q為狀態向量的噪聲方差陣。k+1時刻的狀態值為：

(14)

式中，

K(k+1)=P(k+1|k)HT[HP(k+1|k)HT+R]-1，

(15)

(16)

式中，Y(k+1)是k+1時刻的觀測值；H為觀測矩陣；R為觀測向量的噪聲方差陣。k+1時刻的協方差陣值為

P(k+1|k+1)=[In-K(k+1)H]P(k+1|k)，

(17)

式中，In為單位陣，表示系統狀態的維數。通過上述的6個方程，可以準確地估計每一個狀態值。在本文中把最大似然估計獲得的頻偏作為觀測序列Y(k)，采用一階Kalman濾波就可以實時地估計頻偏的變化。如果Q和R與噪聲的模型匹配，頻偏估計就具有最小的濾波誤差方差[15]。

結合Kalman濾波和最大似然的頻偏估計算法的實現原理如圖1所示。

圖1 結合Kalman濾波和最大似然的頻偏估計原理

(18)

(19)

下面對結合Kalman濾波和最大似然的頻偏估計算法進行仿真驗證和分析。

4 仿真結果與分析

對結合Kalman濾波和最大似然的頻偏估計算法進行Matlab仿真。測試信號為16APSK調制信號，碼速率為1 MHz，采樣頻率為56 MHz，接收機本振的頻率為70 MHz。從式(18)可以看出，影響最大似然頻偏估計值的參數有K、N和F，在實驗中K取值為8，N取值為20。

假設接收信號載波頻率為70.1 MHz，即接收機本振頻率與接收信號載波頻率的固定偏差為100 kHz。仿真中，信噪比SNR變化范圍為-5～30 dB。在不同的信噪比條件下，對最大似然估計算法和結合Kalman濾波的最大似然估計算法進行了仿真，仿真結果如圖2和圖3所示。

圖2 不同信噪比下的頻率估計的偏差

圖3 不同信噪比下的頻率估計偏差的均方差

圖2反映的是不同信噪比條件下，估計得到的頻偏和實際頻偏的偏差值。頻率估計偏差值的計算公式為：

(20)

式中，fd為實際頻偏值；M=2 000，表示2 000次估計樣本。考慮到Kalman濾波初始狀態的不確定性，先獲得10 000次估計樣本，把最新的2 000次估計樣本作為衡量估計偏差值的樣本。圖3反映的是不同信噪比條件下，估計偏差值的均方差。頻率估計偏差值的均方差計算公式為：

(21)

從圖2可以看出，不同信噪比條件下，最大似然估計算法和結合Kalman濾波的最大似然估計算法獲得頻偏值相差不多，信噪比越高，估計的偏差越小。當在低信噪比條件下(SNR=-5 dB)，2種算法估計的頻率偏差跟實際的頻率偏差(100 kHz)都相差大約21 kHz，信噪比在0 dB時偏差可以達到2 kHz左右。從圖3可以看出，2種算法估計的頻率偏差的均方差都隨著信噪比的提高而減小，相比最大似然估計算法，結合Kalman濾波的最大似然估計算法獲得的頻率偏差的均方差更小，即估計的頻率值更穩定。當SNR=-5 dB時，最大似然估計算法估計的頻率偏差值均方差為130 kHz左右，波動范圍非常大；結合Kalman濾波的最大似然估計算法估計的頻率偏差值均方差大約為15 kHz。在其他信噪比條件下，結合Kalman濾波的最大似然估計算法相比單獨的最大似然估計算法估計的頻率值均方差也都較小。2種算法頻率估計偏差平均值相差不多，但結合Kalman濾波的最大似然估計算法在頻率估計偏差的均方差性能上有較大改善，即結合Kalman濾波的最大似然估計算法估計的頻率值更穩定。

以上是對固定載波頻差信號的仿真，下面對含多普勒載波頻偏的信號進行仿真。假設接收信號載波頻率與接收機本振頻率的偏差從100 Hz變化到100 kHz，步進為100 Hz。仿真中，SNR=-5 dB。仿真結果如圖4和圖5所示。圖4反映的是在SNR=-5 dB時，2種估計算法對多普勒頻偏的實時估計值。從圖4可以看出，在低信噪比時，結合Kalman濾波的最大似然估計算法相比單獨的最大似然估計算法估計的頻偏值更接近真實的頻偏值，能更好地抑制噪聲引起的波動。圖5反映的是在SNR=-5 dB時，2種算法估計的多普勒頻偏和真實頻偏的偏差。從圖5可以看出，相比最大似然估計算法，結合Kalman濾波的最大似然估計算法估計的多普勒頻偏值和真實頻偏值的偏差小很多，結合Kalman濾波的最大似然估計算法估計的頻偏值能更穩定地跟蹤接收信號中真實的多普勒頻移。

圖4 SNR=-5 dB時估計的實時多普勒頻偏值

圖5 SNR=-5 dB時估計的多普勒頻偏的偏差值

仿真結果表明，結合Kalman濾波的最大似然估計算法比單獨的最大似然估計算法在頻偏估計的精確度上有較大的改善。

5 結束語

本文討論了一種基于Kalman濾波結合最大似然估計的16APSK頻偏捕獲算法。該算法是開環結構，實現簡單，計算量小。仿真結果表明，相比最大似然估計算法，結合Kalman濾波的最大似然估計算法在載波的頻偏估計偏差精度方面有較大的提高。該算法不僅適用于16APSK信號的頻偏估計，也適用其他體制信號的非數據輔助的頻偏估計。該算法具有較好的工程應用前景，對低信噪比條件下信號快速捕獲的實際應用具有一定的參考價值。

[1] MORELLO A，MIGNONE V.DVB-S2：the Second Generation Standard for Satellite Broad-band Services [J].Proceedings of the IEEE，2006，24(1)：210-227.

[2] 梅凡.衛星數傳系統中16APSK調制解調技術研究[D].北京：中國科學院國家空間科學中心，2016.

[3] 陳榮，周旭，張士強.擴頻信號的捕獲與跟蹤[J].無線電工程，2010，40(5)：33-35.

[4] 段勇存，王力男，裴文端.一種機載衛星通信終端頻率捕獲跟蹤算法[J].無線電通信技術，2016，42(3)：33-36.

[5] 何朝玉，李超，陳暉，等.一種適用于突發16APSK信號的載波同步算法[J].無線電工程，2012，42(5)：61-64.

[6] 劉曉冬，陳衛東.一種寬范圍高精度的載波頻偏估計算法[J].無線電工程，2014，40(3)：43-45.

[7] FRANTZESKAKIS E，KOUKOULAS P.Phase Domain Maximum Likelihood Carrier Recovery：Framework and Application in Wireless TDMA Systems [J].IEEE VTS 50th Vehicular Technology Conference，1999(5)：2571-2575.

[8] 王曉湘，柯有安.高動態多普勒頻率的最大似然估計器[J].北京郵電大學學報，2000，23(1)：61-65.

[9] 唐金花，陳偕雄.一種基于最大似然估計的頻偏估計算法[J].科技通報，2006，22(2)：263-266.

[10] 王樂，王竹剛，熊蔚明.基于最大似然頻率精細估計的載波捕獲算法[J].電訊技術，2013，53(1)：39-43.

[11] 王鵬宇，呂善偉.Kalman濾波在頻率估計中的應用與仿真[J].宇航計測技術，2008，28(5)：23-26.

[12] 田甜，安建平，薛斌，等.基于最大似然估計和Kalman濾波的BPSK載波同步方法[J].北京理工大學學報，2012，32(1)：67-71.

[13] 崔霞霞，江會娟，萬明剛.一種8PSK、16APSK與32APSK軟解映射的實現技術[J].無線電工程，2011，41(4)：45-48.

[14] 杜勇.數字通信同步技術的MATLAB與FPGA實現[M].北京：電子工業出版社，2015.

[15] 吳迪松，張公禮，鄭國.一種高階QAM信號載波頻偏估計算法[J].電訊技術，2006(4)：144-148.

[16] 黃小平，王巖.卡爾曼濾波原理及應用[M].北京：電子工業出版社，2017.

[17] 袁建國，馬駿，李璋超.CO-OFDM系統中基于卡爾曼濾波對相位噪聲補償算法的研究[J].半導體光電，2015(6)：959-963.

[18] 曾富華，汪遠玲，楊萬麟.一種基于擴展卡爾曼濾波器的頻率及頻率斜率估計算法[J].電訊技術，2008，48(3)：70-73.