泰勒展開式在函數不等式問題中的應用

楊柳

摘 要 自導數納入高考范圍后，函數不等式問題的難度加大，學生在處理含有參數的不等式問題時，分類討論的思路較為混亂，書寫不規范，用時較長，從而導致高考失分較多。對于這部分問題，除了用常規的導數方法以外，我們還可以從另一個角度解決，這就是泰勒展開式形成的不等式。我們通過兩道例題展現它在解決函數最值問題方面的優越性。

關鍵詞 泰勒展開式;導數;函數最值;不等式放縮

中圖分類號：G622????????????????????????????????????????????????????? 文獻標識碼：A????????????????????????????????????????????????? 文章編號：1002-7661（2018）18-0227-01

通過兩道例題我們發現，第一種解法是導數問題中常用的分離參數后二次求導，或者直接構造差函數后進行分類討論，求解過程難度和計算量都較大。例1的第二種解法是利用數形結合的思想，將問題轉化為曲線外一點與曲線上任意一點連線，形成的直線斜率的取值范圍問題，難度和計算量都有所下降。兩道例題的另一種解法是利用泰勒展開式得到的經典不等式，將函數放縮后，直接得到答案，問題很容易的得到了解決。當然，根據題目的不同，泰勒展開式可以選擇不同的項構成不等式。由此可見，泰勒展開式在解決導數問題時，非常的簡潔靈活。在平時的教學中，我們可以讓學生熟悉一些經典的泰勒展開式，將復雜的導數含參問題轉化分解成我們熟悉的函數和不等式問題進行解決。