例談高一數學思維的培養
——以高一二次函數恒成立問題為例

許榮好

（江蘇省蘇州市吳中區江蘇省外國語學校，江蘇 蘇州）

本文是以教學過程中的一道題，在講解過程中發現的問題為載體，淺談自己對于恒成立問題中，應該培養學生的幾種應對策略.不當之處，敬請指正.

一、問題呈現

若在區間［-1，1］上，g（x）=2x2-（4+a）x+3 的圖象恒在 y=2x+7的圖象下方，求實數a的取值范圍.

解析：此題本意是想考查學生將恒成立問題轉化成最值問題，然后再加以解決.

具體如下：因為在區間［-1，1］上，y=g（x）的圖象恒在 y=2x+7的圖象下方，所以 g（x）＜2x+7 在區間［-1，1］上恒成立，從而 2x2-（4+a）x+3＜2x+7 在區間［-1，1］上恒成立，即 2x2-（6+a）x-4＜0 在區間［-1，1］上恒成立.令 h（x）=2x2-（6+a）x-4，本意是想讓學生將上述問題轉化成 h（x）max＜0.然后求出函數在區間［-1，1］上的最大值，通過求出的結果可以發現，最大值只在x=1或-1處取得，進而將問題總結成最后再求出a的取值范圍.

但是學生在求解過程中，往往也沒有考慮很多，直接將計算其實這解題過程中就沒有深入的思考,他們只是單純地代入計算，并沒有進行嚴格的思考.雖然他們寫出了正確答案，但是他們其實是沒有完全理解本題的意義.

對于此類問題在解題過程中，想要培養學生能夠清楚地理解二次函數的本質，在通過研究對稱軸和區間位置的關系后，將問題轉化成函數最值問題.學生數學思維模式的養成，需要通過教師不斷的引導和講解.

二、處理恒成立問題的應對策略

為了培養學生正確應對二次函數恒成立問題，培養正確的數學思維方式，本人在班級開展了一節專題課，一直能培養學生正確的思維能力.常見的二次函數恒成立問題，大致可分兩類，一類是函數的定義域為R；一類是給定區間（m，n）.對于定義域R為的情形，我們通常采用二次函數根的判別式法.對于給定區間（m，n）的情形，我們主要轉化為函數的最值.

探究：定義域為R

策略一：數形結合

通過數與形的相互轉化來解決問題的思想成為數形結合思想.數形結合思想是解決定義域為R時恒成立問題最重要的方法.

例1 已知關于x的不等式x2-mx+1＜0的解是一切實數，則m的取值范圍.

生：根據函數圖象的特點，函數圖象在x軸的上方.

師：很好!這位同學借助了二次函數的圖象，將問題轉化了圖象特點.但是我們該如何用式子表達呢？

生：圖象都在 x軸的上方，所以 Δ=m2-4＜0，即-2＜m＜2

師：這位同學的解法很值得我們參考，我們可以根據函數的圖象，利用判別式來求解問題.下面將此題稍加修改，請大家迅速解決.

變式：已知關于 x的不等式（m-2）x2+2（m-2）x+4＞0 的解集是R，求m的取值范圍.

生：同上法，根據函數的判別式，求出變量的范圍.

師：同學們，你們覺得此類解法正確嗎？

生：不正確，忽略了二次項系數等于0的情形，要分情況解答.當 m-2=0，即 m=2時，4＞0對?x∈R恒成立，滿足題意；當 m-2≠0，即m≠2時，設f（x）=（m-2）x2+2（m-2）x+4，x∈R.若（m-2）x2+2（m-2）x+4＞0的解集是R，則f（x）＞0對?x∈R恒成立.結合函數圖象性質可知解得2＜m＜6.綜上所述，m 的取值范圍為［2，6）.

師：二次項系數含有參數，不能保證上式一定是一元二次不等式，若將它看成函數，也就不能保證它一定是二次函數，故需要分類討論.

探究：給定區間（m，n）

策略二：等價轉化

在求解給定區間二次函數恒成立問題時，通過構造二次函數將不等式問題轉化成函數最值問題來解決，正是因為我們研究的對象是二次函數，對于此類問題最值的求解，學生往往容易接受，可以成為解決問題的突破口.

例2在區間［-1，1］上，函數f（x）=2x2-4x+3的圖象恒在函數g（x）=2x+2m+1的圖象的上方，求m的取值范圍.

生：因為函數f（x）=2x2-4x+3的圖象恒在函數g（x）=2x+2m+1的圖象的上方，所以f（x）＞g（x），即2x2-4x+3＞2x+2m+1，化簡得x2-3x-m+1＞0再利用判別式，使Δ＜0即可.

師：這種解法可行嗎？

生：方法不對，此題有限制范圍，x的取值不是全部實數.應設再求出 h（x）的最小值與 0 比較.由于h（x）的對稱軸是所以 h（x）在區間［-1，1］上單調遞減，從而所以-1-m＞0，即 m＜-1.

策略三：分離參數

分離參數法是求解參數取值范圍的一種常見方法.這種方法可以避免分類討論的麻煩，從而使問題得以順利解決.

師：有同學有其他想法嗎？

生：原不等式可以轉化成 m＜x2-3x+1，x∈［-1，1］.若設 μ（x）=x2-3x+1，x∈［-1，1］，則 m＜μ（x）min.事實上，μ（x）在［-1，1］上單調遞減，所以 μ（x）min=μ（1）=-1，即 m＜-1.

師：此同學能發現不等式中出現了兩個變量，并且已知一個變量的范圍，求另一個變量的范圍.

數學教學與思維密切相關，數學能力具有一般能力不同的特征.因此，培養學生思維能力是數學教學的重要任務，在培養學生思維能力的過程中，我們既要提供讓學生展開思維的空間，讓學生在課堂中暢所欲言，激發他們思維的活躍性，還要巧于點撥，使他們學會科學嚴謹的思考，提高思維的質量；最后，加強學生積極參加數學活動，讓他們尋求數學活動的規律，認識數學之美.

［1］陳鋒.恒成立問題的處理方法［J］.教師，2017（31）.

［2］崔平社.二次函數中“含參恒成立”問題求解策略［J］.中學數學，2007（3）.