一道向量問題的探究

李海軍

新課程標(biāo)準(zhǔn)明確提出，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一，數(shù)學(xué)思維能力包括自主探究、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等，在課堂教學(xué)中注重培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，教學(xué)生學(xué)會(huì)思考是每一位數(shù)學(xué)教師的首要任務(wù)，同時(shí)也是教學(xué)中最有研究?jī)r(jià)值的問題.經(jīng)過多年的教學(xué)實(shí)踐，我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)于一道較難解答的數(shù)學(xué)問題，面對(duì)的第一個(gè)障礙就是思維，審題關(guān)過不去，不知從哪里入手，有的學(xué)生對(duì)題意理解不透徹，不知道向哪一方面的知識(shí)點(diǎn)轉(zhuǎn)化，有的學(xué)生對(duì)于多個(gè)知識(shí)點(diǎn)不能很好地融合，問題的根源是這些學(xué)生的思路沒有打開，找不到這些知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，數(shù)學(xué)邏輯思維能力沒有得到鍛煉.下面以一節(jié)習(xí)題探究課為例，探索如何讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，一步步地對(duì)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，找到知識(shí)點(diǎn)間的關(guān)聯(lián)，以及如何對(duì)條件進(jìn)行整合，從多角度去考慮問題情景，從而使學(xué)生的思維能力得到一定的提升.

一、呈現(xiàn)問題，情景探索

在平面向量的數(shù)量積一節(jié)中，由于向量問題的抽象性，很多學(xué)生不懂得如何利用已知條件，對(duì)題意不能很好地把握，不能有效地進(jìn)行思維的發(fā)散，從而失去解題的機(jī)會(huì).以下是一道向量問題：

例 若，，均為單位向量，且·=0，（-）·（-）<0，求+-的最大值.

該問題是學(xué)生學(xué)案上的一道例題，正確率較低，題意中涉及3個(gè)向量，很多學(xué)生感覺不好做，就不敢去研究了，有的得到了答案，但是對(duì)于本題所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想還不能很好地把握，問題比較嚴(yán)重.因此，對(duì)本題作必要的探究，充分地滿足他們需要釋疑的心理需求，會(huì)更好地體現(xiàn)該題的教育價(jià)值作用和數(shù)學(xué)的思維方式.如何對(duì)該題作問題的初探，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的探究熱情，實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的目標(biāo)呢？以下是課堂實(shí)錄（整理后）.

師：同學(xué)們，平面向量數(shù)量積的定義是什么？

生：·=cosθ，其中θ是與的夾角。

師：很好，就是說兩個(gè)向量相乘，需要知道它們的模與夾角.對(duì)于題目所給的條件如何進(jìn)行轉(zhuǎn)化？比如，，為單位向量，·=0，可以得到什么？

生：模都為1，與垂直.

師：（-）·（-）≤0呢？

（學(xué)生感到不太好轉(zhuǎn)化，有的學(xué)生還在思考，教師覺得還要再給點(diǎn)提示）

師：想不出了嗎？（-）與（-）都是什么？它們相乘可以處理？

生1：都是向量，可以先用向量的乘法把括號(hào)打開.

師：嗯，這是一種方案，大家試一試.

（生1上黑板演示，得到·（+）≥1）

師：很好，下面同學(xué)都得到了吧.下面看所求的+-可以怎么轉(zhuǎn)化？

生：肯定是平方，對(duì)于向量和與差的模都是先平方再開方的.（+-）2=2+2+2-2·（+）.只需將·（+）≥1代入上式可得到+-≤1

師：很好，大家看，這種解法運(yùn)用了平面向量數(shù)量積的定義以及運(yùn)算法則，需要注意的是，在得到·（+）≥1后，不要打開括號(hào)，把它整體代入（+-）2的展開式中.還有其他方法嗎？

生2：可以用坐標(biāo)法，設(shè)=（1，0），=（0，1），=（x，y），

師：很好，請(qǐng)你上來演示一下，其他同學(xué)在下面做。

（以下為生2板演過程）

（1-x，-y）·（-x，1-y）≤0

得到x2+y2≤x+y

∵x2+y2=1

∴x+y≥1

又+-2=3-2（x+y）≤1

師：做得不錯(cuò)！同學(xué)們?cè)傧胂耄蛄康淖鴺?biāo)還可以怎么設(shè)？可以設(shè)成角為變量嗎？

生3：可以，設(shè)=（cosθ，sinθ）

師：很好，請(qǐng)同學(xué)們代入試一試.

（學(xué)生演算，教師查看學(xué)生求解過程后做總結(jié)）

cosθ+sinθ≥1

=+-2=3-2（cosθ+sinθ）≤1

教師總結(jié)：通過對(duì)一道求向量模長(zhǎng)問題的探究，我們分別利用了向量數(shù)量積的定義、向量的坐標(biāo)表示.同學(xué)們?cè)谒伎即祟悊栴}時(shí)，要多從知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系以及它的延伸拓展等方面去轉(zhuǎn)化，希望通過這一個(gè)問題的研究能對(duì)大家思維能力的提高有一定的促進(jìn)作用.

二、課后反思

通過上面例題的分析，在教師的問題串引領(lǐng)下，學(xué)生對(duì)試題的知識(shí)點(diǎn)初探、思路突破、課中交流、課上展示、解法比較、方法拓展，完善知識(shí)體系，強(qiáng)化數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，提升分析問題和解決問題的能力.

1.通過一系列的問題串，構(gòu)建知識(shí)間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生思維能力

數(shù)學(xué)中的任何一個(gè)知識(shí)都不可能是孤立的，知識(shí)點(diǎn)之間總是存在著一定的聯(lián)系.比如由向量相乘自然想到數(shù)量積、坐標(biāo)運(yùn)算等，由向量的模等于1，可以聯(lián)系單位向量、單位圓等知識(shí).我們?cè)诮虒W(xué)中要自然地把這些知識(shí)間聯(lián)系的思想滲透給學(xué)生.

數(shù)學(xué)習(xí)題課究竟該怎樣上？多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)告訴我們，要為學(xué)生的學(xué)而上.在習(xí)題課中，不能只是解題，要注重培養(yǎng)學(xué)生分析問題與解決問題的能力，更不是去強(qiáng)記解題方法，數(shù)學(xué)不是機(jī)械的東西，當(dāng)學(xué)生思維卡殼時(shí)，教師不能著急，不要急于把所有方法拋給學(xué)生，而要通過問題串的形式，一步一步引導(dǎo)，把學(xué)生的思維慢慢打開，營(yíng)造班級(jí)聯(lián)動(dòng)的探究環(huán)境，適當(dāng)?shù)谋頁P(yáng)評(píng)價(jià)，科學(xué)的問題引領(lǐng)，激發(fā)學(xué)生的真正思考，“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，沒有問題就沒有數(shù)學(xué)，一系列問題的提出不僅促進(jìn)了學(xué)生思維能力的整合，也進(jìn)一步促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)表征的優(yōu)化.

2.借助師生互動(dòng)，通過探究式教學(xué)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)建構(gòu)

美國(guó)心理學(xué)家布魯納說“探索是數(shù)學(xué)的生命線”，數(shù)學(xué)的本質(zhì)就是思維.課標(biāo)指出要注重培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，對(duì)教師來講，習(xí)題課不好上，就題講題就落入俗套，一節(jié)好的習(xí)題課要時(shí)時(shí)滲透著解題的思想和方法，從而追求思維的貫通和方法的靈活運(yùn)用.上課時(shí)教師要重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生的方法是怎么想到的，為什么要這樣想，是通過題意展開的思考還是靈光一現(xiàn)式的聯(lián)想，從而充分暴露他的思維過程.一堂習(xí)題探究課，讓學(xué)生都能“動(dòng)起來”，師生都能進(jìn)入享受數(shù)學(xué)的狀態(tài)，這就是一節(jié)好的習(xí)題課.當(dāng)然，學(xué)生思維能力的培養(yǎng)并不是一朝一夕的事情，需要我們教師耐心地指導(dǎo)，帶著學(xué)生一起去分析，長(zhǎng)此以往，我們會(huì)和學(xué)生一起進(jìn)步.

參考文獻(xiàn)：

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[3]王建龍.試卷講評(píng)說略[J].教育理論研究，2004（6）：11.

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