高中數學復合函數定義域和值域學習中易錯問題淺析

宿志強

摘 要：函數問題集定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性和圖象于一身。主要研究高考熱點問題中抽象函數和復合函數的定義域和值域。

關鍵詞：復合函數；定義域；值域

一、復合函數的定義、定義域和值域問題

抽象函數的定義：我們把沒有給出具體解析式的函數稱為抽象函數。由于這類問題可以全面考查學生對函數概念和性質的理解，同時抽象函數問題又將函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性和圖象集于一身，所以在高考中不斷出現.

記函數v=F（u）的定義域為u1，函數u=f（x）的值域為u2，記U=U1∩U2，D={x|x∈R，f（x）∈U}，則以D為定義域，以F[f（x）]為對應法則的函數v=F[f（x）]叫做D上的復合函數.

為敘述方便，構成復合函數的每一次復合步驟所形成的函數，可形象地稱為該復合函數的一“層”函數，上述定義中的F（u）叫做f（x）的外層函數，u=f（x）叫做F（u）的內層函數或中間變量復合.

1.已知f（x）的定義域，求f[g（x）]的定義域

其解法是：若f（x）的定義域為a≤x≤b，則在f[g（x）]中，a≤g（x）≤b，從中解得x的取值范圍即為f[g（x）]的定義域.

例1：已知y=f（x）的定義域為[-1，1]，求y=f（2x-1）的定義域.

解：由題意可知-1≤2x-1≤1，解得0≤x≤1，所以次函數的定義域為[0，1].

2.已知f[g（x）]的定義域，求f（x）的定義域

其解法是：若f[g（x）]的定義域為m≤x≤n，則由m≤x≤n確定的g（x）的范圍即為f（x）的定義域.

例2：已知f（2x-1）的定義域為[-1，1]，求f（x）的定義域.

解：由于-1≤x≤1，解得-3≤x≤1，因此f（x）定義域為[-3，1].

3.運算型的抽象函數

求由有限個抽象函數經四則運算得到的函數的定義域，其解法是：先求出各個函數的定義域，然后再求交集.

例3：若f（x）的定義域為[-3，5]，求φ（x）=f（-x）+f（2x+5）的定義域.

解：可知-3≤-x≤5，因此-5≤x≤3.同時，-3≤2x+5≤5，可得-4≤x≤0.

因此，φ（x）的定義域為[-5，3]∩[-4，0]=[-4，0]

4.已知函數f[g（x）]的定義域，求函數f[h（x）]的定義域

其解法是，先由f[g（x）]的定義域，求出函數f（x）的定義域，再由f（x）的定義域，求出函數f[g（x）]的值域.

例4：f（）的定義域為[2，3]，求f（x+5）的定義域.

解：f（）的定義域為[2，3]

所以，-1≤≤

所以，f（x）的定義域為[0，]

所以，0

二、對數函數的學習過程中，關于求對數函數與二次函數的復合函數的定義域和值域的問題

具體模型是，設函數f（x）=logm（ax2+bx+c）（a≠0，m>0，且m≠1），二次方程ax2+bx+c=0對應的判別式？駐=b2+4ac.

（1）若函數f（x）的定義域為R，則a>0，且？駐<0；

（2）若函數f（x）的值域為R，則a>0，且？駐≥0.

例5設函數f（x）=log2（ax2+3x+5），其中a≠0

（1）若此函數的定義域為R，求a的取值范圍；（2）若此函數的值域為R，求a的取值范圍.

解：（1）由于此函數是復合函數，所以可令f（x）=log2μ，μ=ax2+3x+5.f（x）=log2μ中μ>0，所以二次函數μ=ax2+3x+5的值域大于零，且x取遍所有實數，只需保證a>0，且？駐=9-20a<0.解得a>.

（2）同理，可令f（x）=log2μ，μ=ax2+3x+5.則f（x）=log2μ，由于f（x）取遍所有實數，所以μ取遍所有大于0的實數.因此必須保證函數μ=ax2+3x+5與平面直角坐標系中x軸有交點.則對應的判別式？駐≥0.即有a>0，且？駐=9-20a≥0.即0

練習

1.已知函數y=f（x+1）的定義域是[-2，3]，求y=f（2x-1）的定義域.

解：依題可知x+1∈[-1，4]，從而2x-1∈[-1，4]，解得此函數的定義域為[0，].

2.已知y=f（x）的定義域為[-1，1]，求函數y=f（x+）·f（x-）的定義域.

解：x+∈[-1，1]，解得x∈[-，]；x-∈[-1，1]，解得x∈[-，].取交集可得此函數定義域為[-，].

參考文獻：

[1]劉天好.復合函數定義域求法及其解題意義研究[J].考試周刊，2017（71）：69.

[2]趙鐸皓.求函數定義域的常見題型例析[J].中學生數理化（學習研究），2017（6）：60.

？誗編輯 李琴芳