線性規(guī)劃的思想方法與向量法的聯(lián)袂應(yīng)用

丁冬彥 趙欣慶 劉彥江 張文斌

摘 要：在線性規(guī)劃教學(xué)中，運(yùn)用幾何畫(huà)板軟件，融入向量法，達(dá)到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)入課堂，讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)直觀的情景中享受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。

關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃課堂教學(xué)；幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)展示；向量法

利用幾何畫(huà)板軟件的向量表示參與構(gòu)圖就是把向量這一解析幾何的基本工具，運(yùn)用到與坐標(biāo)法有關(guān)的數(shù)學(xué)教學(xué)中去，利用它特有的幾何意義和運(yùn)算性質(zhì)，巧妙地解決線性約束條件下線性目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解問(wèn)題。

以下為課堂實(shí)錄，用幾何畫(huà)板展示其構(gòu)圖如下（教師現(xiàn)場(chǎng)操作電腦的鼠標(biāo)、鍵盤(pán)構(gòu)造圖形。展示大屏幕在黑板的右側(cè)）。

板書(shū)：已知點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿足

x-y≤0x-y+2≥0y≥0，求z=3x+y的取值范圍。

分析：幾何畫(huà)板構(gòu)造圖形，其“腳本”如下（展示大屏幕在黑板的右側(cè)）。

（1）新建畫(huà)板，建立以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系。用度量菜單計(jì)算，繪制點(diǎn)B（1，），再繪制點(diǎn)B（-2，0），構(gòu)造直線OB、直線BC.

（2）構(gòu)造的△BOC內(nèi)部。構(gòu)造△BOC上的點(diǎn)P.繪制點(diǎn)A（3，），構(gòu)造直線OA、向量.

（3）過(guò)P點(diǎn)作直線OA的垂線交OA于點(diǎn)H，隱藏垂線。構(gòu)造向量.鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)P，觀察投影OH的大小變化。

解：設(shè)A（3，），則=（3，）且||=2.又=（x，y），則z=3x+y=·.

設(shè)在上的投影為OH，則z=||·OH.因此，求解z=||·OH的范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判斷在的投影OH的范圍問(wèn)題。

當(dāng)點(diǎn)P沿著可行域△BOC的邊界移到x-y=0與x-y+2=0的交點(diǎn)B（1，）時(shí)，在上的投影OH達(dá)到最大，此時(shí)把B（1，）代入z=3x+y取得最大值6.

當(dāng)點(diǎn)P沿著可行域△BOC的邊界移到x-y+2=0與軸的交點(diǎn)C（-2，0）時(shí)，在上的投影OH為負(fù)值最小，此時(shí)把C（-2，0）代入z=3x+y取得最小值-6.所以z=3x+y的取值范圍是[-6，6].

以上是向量思想方法與線性規(guī)劃思想方法的聯(lián)袂，用此法求線性約束條件下線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，達(dá)到了巧、快、準(zhǔn)、靈，充分展現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的交叉滲透，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)美。

參考文獻(xiàn)：

注：本文系甘肅省教育科學(xué)“十三五”2017年度規(guī)劃課題《〈幾何畫(huà)板〉軟件在高中解析幾何教學(xué)中應(yīng)用的研究》（GS[2017]

GHB2552）的階段性研究成果。

？誗編輯 段麗君