初中常見數學思想方法

安麗敏

摘要：所謂數學思想，就是對數學知識的本質的認識。是從某些具體的數學內容和對數學的認識過程中提練上升數學觀點，它在認識活動中被反復運用，帶有普遍的指導意義，是建立數學和用數學解決問題的指導思想，如建模思想、統計思想、最優化思想、化歸思想、分類思想、整體思想、數形結合思想、轉化思想、方程思想、函數思想。

關鍵詞：符號；轉化；分類討論；數形結合要想在數學考試中獲得好成績，掌握一些解題思想和方法是非常重要的，從問題的整體性質出發，突出對問題的整體結構的分析和改造，發現問題的整體結構特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關聯，進行有目的的、有意識的整體處理。

一、符號思想方法

符號既可以表示數，也可以表示量、關系、運算和圖形。符號思想幾乎貫穿于每一章節，沒有符號就沒有代數、就沒有幾何，它是簡化問題的基本方法。有了數學符號，就能能使問題簡明，使過程書寫方便。

例如：平行（∥），垂直（⊥），因為（∵），所以（∴），平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2，全等（≌），三角形（△）等等

二、轉化思想方法

把急待解決的問題轉化為已經解決或比較容易解決的問題，把不熟悉的問題轉化為熟悉的問題.

例1：如圖梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2cm，CD=8cm，AD=4cm，求BC的取值范圍.

分析：過點B作BE∥AD，交DC于點E，構造三角形

解：過點B作BE∥AD，交DC于點E，則四邊形ABED是平行四邊形，因此BE=AD=4cm，DE=AB=2cm.

∴EC=CD-BE=8-2=6cm

在△EBC中，EC-BE

∴2cm

本題通過平移一腰，把梯形轉化為我們熟悉的平行四邊形和三角形，從而得出結論.

三、分類討論思想方法

分類思想方法是一種很重要的方法，掌握分類思想有助于提高學生理解知識、整理知識和獲得獨立知識的能力。運用分類思想解決數學問題要注意兩點：一是不能遺漏，二是不能重復。

例1：已知等腰三角形兩邊分別為4、6，求三角形周長.

解：當腰長為4時，邊長為4、4、6，∴周長為14

當腰長為6時，邊長為4、6、6，∴周長為16

例2：已知關于x的方程（k2-k-2）x2+（5k-1）x+6=0，若等腰△ABC有一邊長為2，另一邊長是這個方程的兩個根，求△ABC的周長.

分析：因為△ABC是等腰三角形，而沒有說明那兩條邊相等，所以要進行分類討論.

解：∵k2-k-2≠0，∴k≠-1，k≠2.

∴△=（5k-1）2-24（k2-k-2）=（k+7）≥0

設△ABC的邊長為a，b，c.令a=2

（1）當b=c時，則方程兩根相等

此時，（k+7）2=0，即k=-7

把k=-7代入原方程，解得方程兩根x1=x2=13.

而此時b+c

（2）當a=b或a=c時，說明方程有一根是2，代入方程得k1=-2，k2=12

當k=-2時，方程的另一根為34，

所以這時△ABC的周長是434

當k=12時，方程的另一根為-43<0舍去

所以滿足條件的△ABC的周長為434.

四、數形結合思想方法

數和形是數學的兩大支柱，我國著名數學家華羅庚說“數無形時不直觀，形無數時難入微。”這句話充分體現了數與形是相互制約、相互依賴的。數形結合貫穿于整個初中數學。數形結合是將抽象的數學語言與直觀的數學圖形結合起來，使抽象思維和形象思維相結合，這樣一來問題將由難變易，化抽象為具體.

例：實數a、b在數軸上的位置如圖所示，化簡代數式a+b+a

解：有數軸知a<0，b>0，且a

∴a+b>0，∴a+b-a=a+b+a=2a+b

五、方程思想方法

把所求的數學問題通過解方程（組）使問題得到解決的一種數學方法.

例：已知平行四邊形ABCD的周長等于48，對角線AC、BD交于點O，△AOD與△AOB的周長之差是10，求平行四邊形各邊的長.

解：∵平行四邊形ABCD的周長等于48

∴AB+BC+CD+AD=48

∵AB=CD，BC=AD

∴2AB +2AD=48

設AB=x，AD=y

∴x+y=24

∵△AOD與△AOB的周長之差是10

∴（AD+AO+DO）-（AB+AO+BO）=10

又∵平行四邊形對角線相互平分，即BO=DO

∴AD-AB=10，即x-y=10

解方程組得x=17，y=7

∴BC=AD=17， AB=CD=7

本題用方程組來解決幾何問題，使過程簡單明了.

六、整體思想方法

整體思想是將問題看成一個整體，把注意力和出發點放在問題的整體結構改造上，從整體上把握問題的內容和解題的方向。

例1：已知：a2+b2=36，a+b=2，求ab的值

解：由a2+b2=（a+b）2-2ab，得

ab=（a+b）2-（a2+b2）2=22-362=-16

例2：若x+2y=6，

2x+y=9， 則x+y=.

分析：本題若用一般方法，即先解方程組，再代入求值，將十分繁瑣.仔細觀察發現，若將兩方程直接相加，再化簡，則答案即出.

解：把兩方程相加，得3x+3y=15，所以x+y=5.（作者單位：河北省石家莊市第二十中學 050000）