對(duì)稱點(diǎn)的特殊與一般

葉智超

同學(xué)們，我們?cè)谡n堂上研究了平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸、原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，當(dāng)我們把對(duì)稱軸、對(duì)稱中心進(jìn)行適當(dāng)平移后，這些對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)又會(huì)有什么樣的變化呢？下面，讓我們共同來(lái)研究.

請(qǐng)同學(xué)們思考這樣一道題目：

1.在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-4，5），B（-5，2），C（-1，3）.

（1）△A0B0C0與△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱.在圖1中畫(huà)出△A0B0C0，并寫(xiě)出△A0B0C0三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）觀察圖中對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，寫(xiě)出直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)P（a，b）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)：______.

【解析】（1）分別作出各點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，再順次連接即可，圖略，A0（4，5），B0（5，2），C0（1，3）；（2）（-a，b）.

【說(shuō)明】本題主要考查在直角坐標(biāo)系中根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作圖，以及圖形的軸對(duì)稱變換與點(diǎn)的坐標(biāo)變化之間的關(guān)系.作關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形是同學(xué)們平常接觸過(guò)的問(wèn)題，難度不大.

請(qǐng)同學(xué)們?cè)儆^察下列兩題：

2.在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-4，5），B（-5，2），C（-1，3）.

（1）直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），并且與y軸平行， △A1B1C1與△ABC關(guān)于直線l1對(duì)稱.在圖2中畫(huà)出△A1B1C1，并寫(xiě)出△A1B1C1三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）比較圖2中△A1B1C1與圖1中△A0B0C0的位置關(guān)系，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（3）寫(xiě)出直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)P（a，b）關(guān)于直線l1的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)：______.

3.在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-4，5），B（-5，2），C（-1，3）.

（1）若直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，0），并且與y軸平行，△A2B2C2與△ABC關(guān)于直線l2對(duì)稱.在圖3中畫(huà)出△A2B2C2，并寫(xiě)出△A2B2C2三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）比較圖3中△A2B2C2與圖1中△A0B0C0的位置關(guān)系，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（3）寫(xiě)出直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)P（a，b）關(guān)于直線l2的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)：______.

【解析】問(wèn)題2中：（1）圖略，A1（6，5），B1（7，2），C1（3，3）；（2）把△A0B0C0向右平移2個(gè)單位，得到△A1B1C1；（3）（-a+2，b）.問(wèn)題3中：（1）圖略，A2（8，5），B2（9，2），C2（5，3）；（2）把△A0B0C0向右平移4個(gè)單位，得到△A2B2C2；（3）（-a+4，b）.

下面請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察上述3個(gè)題目：

（1）你能發(fā)現(xiàn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)有何關(guān)系嗎？

（2）你能用語(yǔ)言描述你的發(fā)現(xiàn)并解釋其中的道理嗎？

（3）若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（n，0）（n>0）并且與y軸平行，你能寫(xiě)出直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)P（a，b）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)嗎？

（4）當(dāng)n<0時(shí)，情況又怎樣呢？

（5）若直線l′經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，m）并且與x軸平行，你能用上面所獲得的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)研究直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)P（a，b）關(guān)于直線l′的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)嗎？

同學(xué)們，把對(duì)稱軸改變后，這些對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是否具有某種規(guī)律性？經(jīng)過(guò)嘗試，我們發(fā)現(xiàn)這種規(guī)律性是存在的，大家應(yīng)該學(xué)著闡述對(duì)稱軸的平移和對(duì)稱圖形的平移之間的關(guān)系，以及點(diǎn)的坐標(biāo)的變化情況.當(dāng)n>0時(shí)，點(diǎn)P（a，b）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（-a+2n，b），當(dāng)n<0時(shí)，坐標(biāo)仍然滿足上述規(guī)律.

我們?cè)谄綍r(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要學(xué)會(huì)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行反思，把問(wèn)題的條件或結(jié)論一般化，可能就會(huì)挖掘出更有價(jià)值的知識(shí)，形成對(duì)圖形變換的整體認(rèn)識(shí).當(dāng)然，再碰到較難問(wèn)題時(shí)，我們也可先將條件或結(jié)論特殊化，去尋找特殊情形時(shí)的方法，然后再類比到所求問(wèn)題中.

因此，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)與解題時(shí)，應(yīng)多去感悟“特殊與一般”的數(shù)學(xué)思想，力爭(zhēng)做一題會(huì)一類，掌握研究問(wèn)題和解題的方法，提高學(xué)習(xí)能力.

練習(xí)：

1.在直角坐標(biāo)系中， △ABC的位置如圖4所示.

（1）先將△ABC向下平移2個(gè)單位后，再作該三角形（平移后的三角形）關(guān)于y軸成軸對(duì)稱的圖形，記為△A′B′C′，寫(xiě)出所作△A′B′C′各頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若先將△ABC向下平移m（m>0）個(gè)單位后，再作該三角形（平移后的三角形）關(guān)于直線l[直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（n，0），并且與y軸平行]成軸對(duì)稱的圖形，記為△A′′B′′C′′，你能寫(xiě)出△A′′B′′C′′的各頂點(diǎn)的坐標(biāo)嗎？

【答案】（1）圖略，A′（-3， 2），B′（-2，-1），C′（-6，0）；（2）A′′（-3+2n，4-m），B′′（-2+2n，1-m），C′′（-6+2n，2-m ）.

（作者單位：南京航空航天大學(xué)附屬初級(jí)中學(xué)）endprint