課堂演繹數(shù)對“三性”，管窺數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展
——以“確定位置”的教學(xué)為例

電子科技大學(xué)附屬實驗小學(xué)（610051）

“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)或是數(shù)學(xué)的某一個領(lǐng)域所應(yīng)達成的綜合性能力。”馬云鵬教授的這一論述啟發(fā)我們：發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，不僅是讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中掌握數(shù)學(xué)顯性知識，更重要的是理解和把握數(shù)學(xué)隱性知識，即數(shù)學(xué)思想方法，從而使數(shù)學(xué)思維獲得發(fā)展。因而，在教學(xué)中，教師要有意識、有目標(biāo)、有依據(jù)、有計劃地在課堂中滲透數(shù)學(xué)基本思想，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。下面以北師大版教材四年級上冊“確定位置”的教學(xué)為例，進行相關(guān)闡釋。

一、厘清數(shù)對確定位置的“三性”，為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在課堂中“落地”做好準(zhǔn)備

數(shù)學(xué)基本思想的滲透、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展都是長期漸進的過程，要在每一課的教學(xué)中有意而為，落到實處，使發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)成為每節(jié)課的目標(biāo)。然而，目標(biāo)達成的根基是教師教學(xué)前要認(rèn)真分析教材文本，挖掘知識形成過程中隱含的數(shù)學(xué)思想，為發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的目標(biāo)在課堂中“落地”做好準(zhǔn)備。

“確定位置”的內(nèi)容本質(zhì)是用數(shù)對確定一個位置。在教學(xué)前，教師以教材文本為依據(jù)，厘清數(shù)對確定位置的“三性”，即必要性、唯一性和簡明性。必要性是指為什么會產(chǎn)生數(shù)對，為什么用數(shù)對來確定位置。唯一性是指在二維空間，一個數(shù)對確定唯一的位置，一個位置用唯一的數(shù)對表示，數(shù)對與位置構(gòu)成一一對應(yīng)關(guān)系。簡明性是指用數(shù)對表征位置，形式簡潔，準(zhǔn)確明了。然而，在“三性”之中，從教材可以直接看到數(shù)對表征的簡明性，而必要性和唯一性是內(nèi)隱的。而數(shù)對確定位置的必要性是“精神實體”，運用數(shù)對確定位置是“實體”，弗賴登塔爾認(rèn)為前者比后者更重要。如果沒有或不重視“精神實體”，概念形成過程蘊含的數(shù)學(xué)思想方法、學(xué)生對數(shù)學(xué)的思考就會輪空。“精神實體”和“實體”在課堂中的落實，要求教師在教學(xué)前解讀教材時，厘清數(shù)對“三性”，為發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)做好準(zhǔn)備。

二、演繹數(shù)對的“三性”，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展浸潤在課堂中

在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)立足“三性”，從必要性入手，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)對的產(chǎn)生及用數(shù)對確定位置的過程，在分析、歸納和概括中，發(fā)展學(xué)生的抽象與概括思想、對應(yīng)思想、符號思想等，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

1.在理解數(shù)對產(chǎn)生的必要性中，發(fā)展學(xué)生的抽象與概括思想

“為什么要用數(shù)對確定位置？”教師大多從理論的角度去理解，但這理論不適合在小學(xué)的課堂上直接傳達，這就要求教師換個方式演繹，讓學(xué)生易于理解。最好的方式就是創(chuàng)設(shè)情境，再現(xiàn)數(shù)對產(chǎn)生的原型，讓學(xué)生身臨其境，重溫數(shù)學(xué)家的發(fā)現(xiàn)之旅。教師創(chuàng)設(shè)的情境要有帶動性，能讓學(xué)生跟著來；要有還原性，能讓學(xué)生真切體會產(chǎn)生數(shù)對的需要；要有啟發(fā)性，能讓學(xué)生的思考有切入點；要有延續(xù)性，能讓學(xué)生圍繞主題進行思考和學(xué)習(xí)；要有挑戰(zhàn)性，能引發(fā)學(xué)生強烈的認(rèn)知沖突。教學(xué)時，學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，經(jīng)歷從具體情境中建立表象、抽象出數(shù)學(xué)概念等過程，學(xué)會從事物的多種屬性中抽象出本質(zhì)屬性。

基于以上思考，在教學(xué)開始時，筆者出示一張自己上學(xué)時的集體照，提問：“你們能找到我嗎？”學(xué)生興奮不已，恨不得沖到照片前面用手指出來。筆者又問：“誰來說一下我在哪里？”學(xué)生眾說紛紜，有的只用一個方位詞（如中間）來描述；有的用一個方位詞加發(fā)型等形象描述，如中間和短發(fā)；有的用一個方位詞加第幾排等一維描述方式，如中間第二排；有的用二維描述方式，如第二排第五個……其中二維描述方式還有從不同方向數(shù)的情況。“如果要向不認(rèn)識我的人介紹我在照片上的位置，你們剛才的描述能讓他找到嗎？為什么？”學(xué)生進行對比和反思，甚至爭論、辯論，最終達成一致：有約定方向的兩個數(shù)能確定平面上的位置，產(chǎn)生數(shù)對。在整個教學(xué)過程中，學(xué)生的思維處于憤悱狀態(tài)，學(xué)生經(jīng)歷了解決問題的全過程，理解了數(shù)對確定位置的必要性，同時抽象出數(shù)對，其抽象與概括思想獲得了發(fā)展。

2.在理解數(shù)對確定位置的唯一性中，發(fā)展學(xué)生的對應(yīng)思想

為了準(zhǔn)確描述平面上的位置，在數(shù)學(xué)上就必然產(chǎn)生數(shù)對；準(zhǔn)確是指能讓其描述與平面上的位置一一對應(yīng)。一個方位詞描述，如中間，范圍太大，找不到具體目標(biāo)是哪一個。一個方位詞加形象描述，如中間和短發(fā)，范圍雖然縮小，但不排除中間有幾個短發(fā)的人，目標(biāo)不確定，方法也不適合推廣。一個方位詞加第幾排，如中間第二排，不明確是從哪個方向數(shù)的第二排。而二維描述，如第二排第五個，沒有方向約定時最多有四個目標(biāo)，一旦加上方向約定，就只有一個目標(biāo)了。在學(xué)生的爭論、辯論中，教師要多追問“你說的這種描述方法可能找到幾個位置（人）？”“這個位置（人）符合你的描述嗎？”讓學(xué)生在理解數(shù)對產(chǎn)生必要性的同時，也初步理解二維描述能與平面上的位置之間建立一一對應(yīng)關(guān)系。

當(dāng)然，要進一步理解數(shù)對確定位置的唯一性，還需要在明確規(guī)則之后，加強數(shù)對確定位置在解決實際問題中的運用。讓學(xué)生根據(jù)圖中指定的位置找出對應(yīng)的數(shù)對，根據(jù)給出的數(shù)對找出圖中對應(yīng)的位置。同一個位置給出不同的數(shù)對讓學(xué)生判斷并說明理由，數(shù)對中的兩個數(shù)，其中一個確定、另一個不確定時找圖中或教室里對應(yīng)的位置，直觀表示一對多的情況，呼應(yīng)前面一個方位詞加一維描述方式的一對多，同時也讓學(xué)生體會到兩個數(shù)都確定的數(shù)對對應(yīng)平面中唯一的位置。數(shù)對中兩個數(shù)相同時，不同的兩個數(shù)在數(shù)對中的順序交換后對平面中位置的影響等情況，都可以通過起立、圖示等方法，讓學(xué)生經(jīng)歷理解數(shù)對確定位置的規(guī)則和唯一性的同時，也發(fā)展對應(yīng)思想。

3.在理解數(shù)對表征的簡明性中，發(fā)展學(xué)生的符號思想

在理解數(shù)對產(chǎn)生的必要性時，雖然學(xué)生已經(jīng)知道二維描述能唯一確定平面中的位置，但怎樣記錄描述也是不容忽視的問題。在出示教室里的座位圖后提問：“請在紙上記錄笑笑的位置，記錄好的同學(xué)再想一想還有沒有其他的記錄方式？”巡視和展示作品時，學(xué)生收獲豐富，討論不斷。逐字記錄“第2排第5列”看起來清楚，是個不錯的選擇，但字多，筆畫多，說起來也不夠快?！?排5列”雖減少了描述中的文字，但仍然要寫漢字，不夠簡潔；況且書寫還不方便、不快速，也不便于書面交流。“2-5”“2、5”“2,5”在有約定規(guī)則的前提下沒了漢字，簡潔了，但是易于與減法、小數(shù)、列舉數(shù)等的書寫混淆；并且多個位置寫在一起時，不好區(qū)分。最后，介紹數(shù)學(xué)家用“（2,5）”的形式表征數(shù)對，“（）”表示 2 和 5 為一組、一對；用“（）”而不用“［ ］”等其他連接符號，是為了與數(shù)學(xué)中其他意義的符號表征區(qū)分開。在展示各種記錄方式的過程中注意追問“這種記錄方式能表達清楚嗎？”“這種記錄方式更清楚明白、更簡潔嗎？”“還有沒有更簡潔明了的方法？”此過程中，學(xué)生用文字、數(shù)字、數(shù)學(xué)符號等進行了記錄，并在思考、辨別、判斷、優(yōu)化、簡化的過程中用數(shù)對表示，數(shù)學(xué)表征能力得到了培養(yǎng)，符號意識得到了發(fā)展。

總之，在教學(xué)“確定位置”時，以厘清“教什么”為前提，從數(shù)對產(chǎn)生的必要性切入，緊扣數(shù)對“三性”進行教學(xué)演繹。學(xué)生就能夠經(jīng)歷數(shù)對產(chǎn)生和形成的全過程，在分析、比較、歸納和抽象的過程中，建構(gòu)數(shù)對概念，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。