傳送帶模型中電動機做功問題的兩種思路探討

溫文丹

（福建省清流縣第一中學，福建 清流）

傳送帶在運送物件的過程中需要電動機多消耗電能達到傳送的目的。如何求解多消耗的電能，本文主要分別從能量守恒及摩擦力做功兩種角度進行分析，通過舉例，比較兩種方法在求解此問題的各自特點，從而為此類問題的求解找到較為清晰的思路。

例1：傳送帶與水平面之間的夾角θ=30°，底端A及頂端B間的距離L=5m，傳送帶在電動機的帶動下以v=1m/s的速度順時針勻速運動。已知物塊與傳送帶之間的動摩擦因數10m/s2。現將一質量為m=10kg的物塊（可視為質點）輕放在傳送帶的A點，求在傳送帶將物塊從A點傳送到B點的過程中，電動機由于傳送物塊多做的功。

過程分析：物塊受到沿斜面向上的滑動摩擦力f1=μmgcosθ=75N，從A點以的加速度勻加速，達到與傳送帶共速歷時t1=0.4s，位移，此后隨傳送帶一起勻速完成s2=L-s1=4.8m的位移到達B點，受到沿斜面向上的靜摩擦力f2=mgsinθ=50N。

解法一：運用能量守恒求解

思路分析：物塊從A運動到B的過程，機械能增加，在相對位移中產生了內能。這兩種能量均需通過電動機多消耗電能完成轉化，故電動機由于傳送物塊多做的功等于物塊機械能增量與摩擦生熱之和。

解法二：從摩擦力對傳送帶做功進行求解

思路分析：根據力的作用是相互的，物塊勻加速階段傳送帶將受到沿傳送帶向下的f1作用，為保持傳送帶勻速運動，相當于電動機要對傳送帶施加一個與f1等大反向的力作用，此過程該力做正功f1（vt1）。同理，勻速階段電動機對傳送帶施加一個沿傳送帶向上的力作用，該過程做正功f2S2。

解：W電=f1（vt1）+f2s2=30+50×4.8=270J

例2：與地面的傾角θ=37°、底端A及頂端B間相距L=4.45m的傾斜傳送帶，以v=4m/s的速率順時針轉動。質量m=10kg的物塊以v0=5m/s的速度從A端沖上傳送帶并能達到B點。物塊與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.5，g=10m/s2。求電動機因傳送物塊多做的功。

過程分析：物塊受到沿斜面向下的滑動摩擦f1=μmgcosθ=40N，從A點先以的加速度勻減速至與傳送帶共速，歷時t1=0.1s，位移此后物塊受沿斜面向上的滑動摩擦力f2=μmgcosθ=40N，以2m/s2的加速度勻減速至B點速度恰好為0，歷時t2=2s，完成s2=L-s1=4m的位移。

解法一：運用能量守恒求解

思路分析：（詳見例1解法一）

解法二：從摩擦力對傳送帶做功進行求解

思路分析：物塊以a1勻減速階段傳送帶將受到沿傳送帶向上的f1′作用，為保持傳送帶勻速運動，相當于電動機要對傳送帶施加一個與f1′等大反向的力作用，此過程該力做負功f1（vt1）。同理，以a2勻減速階段電動機對傳送帶施加一個沿傳送帶向上的力作用，該過程做正功f2（vt2）。

列式求解：W電=-f1（vt1）+f2（vt2）=304J

兩種方法比較：運用能量守恒學生容易理解，對能量的轉化較易理清，但在相對位移的計算時容易出錯。如例2在計算物塊與傳送帶相對位移時錯誤地用全程計算，Δx=v（t1+t2）-（s1+s2）=3.95m，Q=fΔx=158J便造成Q的計算出錯。從摩擦力對傳送帶做功角度出發，以傳送帶為研究對象，不需要考慮物塊能量變化及相對位移等問題，簡單明了，但需明確求解電動機對傳送帶做功時，位移應為對地位移，且整個過程是求功的代數和而非絕對值之和。

從以上實例可以看出，求解傳送帶中電動機做功問題的兩種思路各有優點，但都有需要注意的地方。運用能量守恒解題，需考慮當中涉及的所有能量，不能僅局限于機械能與內能。而運用摩擦力對傳送帶做功求解，要充分理解功的定義及總功的求解方法，否則方法雖簡便也容易出錯。